[es] - Dokaz da neke konstrukcije nisu moguće

mjanjic
Šikagou

Član broj: 187539
Poruke: 3008

+775 Profil

Re: Dokaz da neke konstrukcije nisu moguće

^{27.07.2020. u 21:38 - pre 57 meseci}

Za kocku se svodi na to što ne postoji algebarska jednačina koja će nam dati kubni koren iz 2, recimo konstrukcija kvadrata dva puta veće površine je moguća, jer kvadratni koren iz 2 može da se konstruiše (pravougli trougao čije su katete "a", a dijagonala jednaka "a" puta kvadratni koren iz 2), odnosno postoji algebarska jednačina čije je rešenje kvadratni koren iz 2 (ili celobrojni umnožak tog iracionalnog broja).

Za trisekciju ugla mnogi ne razumeju problem, recimo lako se rešava previjanjem papira (origami), međutim kod previjanja papira u jednom koraku se koriste tačke koje se matematički nalaze na krivoj drugog reda (mislim da je u pitanju hiperbola), čime se krši uslov da se koriste samo lenjir i šestar (samo prave linije, kružnice i lukovi, tj. delovi kružnica).

Recimo, sećam se "dokaza" Goldbahove hipoteze, koja tvrdi da se svaki paran broj veći od 2 može predstaviti zbirom dva prosta broja. I autor "dokaza" ispisao sve parne brojeve do 200, i zaključio kako za veće parne brojeve postoji sve više parova različitih prostih brojeva čiji zbir je jednak tom broju... a postoje brojni primeri u matematici gde nešto važi za ogroman broj uzoraka i tek tamo za neki veliki broj pojavi se primer koji obori hipotezu, recimo primer Ojlerove hipoteze (sumu stepena prirodnih brojeva):

Ovo je pokušaj uopštavanja poslednje Fermaove teoreme (poznata i kao Fermaova velika teorema), za koju je n = 2, što sledi da jednakost ne važi za k > 2, a što je i dokazano 1995. godine (prva verzija dokaza), dakle posle više od 350 godina, međutim Ojlerova hipoteza je oborena za k = 4 i k = 5, dok se za veće k ne zna.

Recimo, za k=5 dokaz je pronađen 1966. godine pomoću računara:

dok je za k=4 pronađeno beskonačno primera (Noam Elkies je pronašao formulu za eliptičku krivu kojom se generišu brojevi čiji četvrti stepeni zadovoljavaju datu jednakost), dok je primer sa najmanjim brojevima pronađen 1988. godine:

Dakle, nije dovoljno uzeti nekoliko desetina, ili čak hiljada primera i reći "ovo očigledno važi i za sve veće brojeve".

Ovde su dati još neki zanimljivi primeri: https://math.stackexchange.com...xtremely-large-counterexamples
Recimo,

su uzajamno prosti, što važi sve do broja

Ili

su uzajamno prosti sve do

Blessed are those who can laugh at themselves, for they shall never cease to be amused.

Odgovor na temu

MajorFatal
Milija Jakic
opravljam oluke, 1337LAB
Bg

Član broj: 36595
Poruke: 1510
87.116.177.*

+604 Profil

Re: Dokaz da neke konstrukcije nisu moguće

^{27.07.2020. u 23:25 - pre 57 meseci}

Citat:

mjanjic: Za kocku se svodi na to što ne postoji algebarska jednačina koja će nam dati kubni koren iz 2,

A zašto je bitno da postoji algebarska jednačina koja će nam dati kubni koren iz 2, i kakve to veze ima sa konstrukcijom?

Citat:

recimo konstrukcija kvadrata dva puta veće površine je moguća, jer kvadratni koren iz 2 može da se konstruiše (pravougli trougao čije su katete "a", a dijagonala jednaka "a" puta kvadratni koren iz 2),

Trouglovi obično nemaju dijagonale, nego hipotenuze, kvadrati imaju dijagonale. I kako ja sad da ti verujem kad je očigledno da si zbunjen?

Citat:

odnosno postoji algebarska jednačina čije je rešenje kvadratni koren iz 2 (ili celobrojni umnožak tog iracionalnog broja).

Za trisekciju ugla mnogi ne razumeju problem, recimo lako se rešava previjanjem papira (origami), međutim kod previjanja papira u jednom koraku se koriste tačke koje se matematički nalaze na krivoj drugog reda (mislim da je u pitanju hiperbola), čime se krši uslov da se koriste samo lenjir i šestar (samo prave linije, kružnice i lukovi, tj. delovi kružnica).

Recimo, sećam se "dokaza" Goldbahove hipoteze, koja tvrdi da se svaki paran broj veći od 2 može predstaviti zbirom dva prosta broja. I autor "dokaza" ispisao sve parne brojeve do 200, i zaključio kako za veće parne brojeve postoji sve više parova različitih prostih brojeva čiji zbir je jednak tom broju... a postoje brojni primeri u matematici gde nešto važi za ogroman broj uzoraka i tek tamo za neki veliki broj pojavi se primer koji obori hipotezu, recimo primer Ojlerove hipoteze (sumu stepena prirodnih brojeva):

su uzajamno prosti, što važi sve do broja

Ili

su uzajamno prosti sve do

Jedno je izvesno, zadatci još uvek izvode ljude iz takta, pogle šta je sve ispisao ničim izazvan :)

Nemoj da pricas?

Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.uns.ac.rs. via ipv6

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+621 Profil

Re: Dokaz da neke konstrukcije nisu moguće

^{27.07.2020. u 23:25 - pre 57 meseci}

Citat:

mjanjic:
Za kocku se svodi na to što ne postoji algebarska jednačina koja će nam dati kubni koren iz 2

Ovo nije sasvim precizno rečeno. Broj

jeste algebarski (on je rešenje polinomne jednačine

). Međutim, nisu svi algebarski brojevi konstruktibilni: da bi bili takvi, potrebno je da njihov minimalni polinom ima stepen koji je stepen broja

(stoga, kako je minimalni polinom broja

stepena

, ovaj broj nije konstruktibilan).

Citat:

mjanjic:
Dakle, nije dovoljno uzeti nekoliko desetina, ili čak hiljada primera i reći "ovo očigledno važi i za sve veće brojeve".

Ovde su dati još neki zanimljivi primeri: https://math.stackexchange.com...xtremely-large-counterexamples

I meni lično omiljen primer: ako rešavamo jednačinu

u skupu prirodnih brojeva, za trojku brojeva koja predstavlja najmanje moguće rešenje te jednačine imamo

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2801 Profil

Re: Dokaz da neke konstrukcije nisu moguće

^{28.07.2020. u 00:58 - pre 57 meseci}

Citat:

Bojan Basic: Međutim, nisu svi algebarski brojevi konstruktibilni: da bi bili takvi, potrebno je da njihov minimalni polinom ima stepen koji je stepen broja 2

Ovo je tačno, uz napomenu da taj uslov nije dovoljan, već samo potreban. Postoji algebarski broj stepena 4, koji nije konstruktibilan lenjirom i šestarom.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

mjanjic
Šikagou

Član broj: 187539
Poruke: 3008

+775 Profil

Re: Dokaz da neke konstrukcije nisu moguće

^{28.07.2020. u 01:20 - pre 57 meseci}

Da, kucao sam u nekom "polutransu", razmišljao sam o nekom drugom problemu i transcendentnim brojevima (koji nisu rešenje nijedne algebarske jednačine), pa se "preslikalo" ovde kao i "dijagonala" trougla. Eto, bolje je pisati odgovore ujutru nego kasno uveče :)

Blessed are those who can laugh at themselves, for they shall never cease to be amused.

Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2056
*.mbb.telenor.rs.

+391 Profil

Re: Dokaz da neke konstrukcije nisu moguće

^{28.07.2020. u 18:50 - pre 57 meseci}

Ne mora dokaz za bilo koji ugao. Nemoguce je podeliti ugao od 60 stepeni na 3 jednaka dela. To jest ne moze se konstruisati ugao od 20 stepeni. Ako on ne moze, onda ne moze svaki.

Odgovor na temu

mjanjic
Šikagou

Član broj: 187539
Poruke: 3008

+775 Profil

Re: Dokaz da neke konstrukcije nisu moguće

^{29.07.2020. u 05:20 - pre 57 meseci}

Ne može proizvoljan ugao (tj. svaki), ali mogu neki specifični, tipa 30°, pa se može izvršiti trisekcija ugla od 90°, a po analogiji može i za 180°, 270° i 360°.
Takođe, moguće je izvršiti trisekciju uglova koji se pojavljuju kod pravilnih mnogouglova koji se mogu konstruisati lenjirom i šestarom, ali to su sve specijalni slučajevi, originalan problem zahteva trisekciju proizvoljnog ugla (dakle, ne moramo ni znati vrednost ugla, već imamo samo zadate krake, a dozvoljeno je korišćenje samo lenjira i šestara).

Blessed are those who can laugh at themselves, for they shall never cease to be amused.

Odgovor na temu

MajorFatal
Milija Jakic
opravljam oluke, 1337LAB
Bg

Član broj: 36595
Poruke: 1510
87.116.160.*

+604 Profil

Re: Dokaz da neke konstrukcije nisu moguće

^{29.07.2020. u 22:13 - pre 57 meseci}

Citat:

Bojan Basic:

Citat:

mjanjic:
Za kocku se svodi na to što ne postoji algebarska jednačina koja će nam dati kubni koren iz 2

Ovo nije sasvim precizno rečeno. Broj

jeste algebarski (on je rešenje polinomne jednačine

). Međutim, nisu svi algebarski brojevi konstruktibilni: da bi bili takvi, potrebno je da njihov minimalni polinom ima stepen koji je stepen broja

(stoga, kako je minimalni polinom broja

stepena

, ovaj broj nije konstruktibilan).

Zašto je potrebno da njihov minimalni polinom ima stepen koji je stepen broja

da bi algebarski brojevi bili konstruktibilni?

Citat:

Nedeljko:

Citat:

Bojan Basic: Međutim, nisu svi algebarski brojevi konstruktibilni: da bi bili takvi, potrebno je da njihov minimalni polinom ima stepen koji je stepen broja 2

Ovo je tačno, uz napomenu da taj uslov nije dovoljan, već samo potreban. Postoji algebarski broj stepena 4, koji nije konstruktibilan lenjirom i šestarom.

Koji još uslov je potreban?

Nemoj da pricas?

Odgovor na temu

MajorFatal
Milija Jakic
opravljam oluke, 1337LAB
Bg

Član broj: 36595
Poruke: 1510
87.116.160.*

+604 Profil

Re: Dokaz da neke konstrukcije nisu moguće

^{02.08.2020. u 00:26 - pre 57 meseci}

Ekhm?

Zašto je potrebno da njihov minimalni polinom ima stepen koji je stepen broja 2 da bi algebarski brojevi bili konstruktibilni, kakve to veze ima sa crtežom, konstrukcijom na papiru, i koji još uslov je potreban?

Nemoj da pricas?

Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
87.116.182.*

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+621 Profil

Re: Dokaz da neke konstrukcije nisu moguće

^{02.08.2020. u 13:08 - pre 57 meseci}

Na to pitanje je već malo teže dati odgovor. Na primer, konkretno na našem fakultetu tehnika dokazivanja nemogućnosti nekih konstrukcija radi se pri kraju predmeta Prsteni, polja i teorija Galoaa (na master studijama), a ovo je četvrti po redu kurs iz opšte algebre. Dakle, nije baš tako lako to sažeti u jednoj-dve poruke na forumu. Ali ajde, pokušaću da skiciram nešto na brzinu (napominjem: ovo je vrlo uprošćeno i na nekim mestima vrlo i neprecizno, pa nemojte shvatati previše formalno, jer drugačije i ne može biti).

Dakle, ono što se može pokazati (preko analitičke geometrije: znamo kako izgledaju jednačine prave i kružnice, a presek dva takva objekta je rešenje sistema jednačina koje opisuju ta dva objekta) jeste sledeće: ako zamislimo da imamo neke prave i kružnice takve da poluprečnici kružnica, kao i koordinate njihovih centara i svih tačaka sa pravih, dolaze iz nekog polja

, tada koordinate preseka ovakvih objekata moraju biti iz neke kvadratne ekstenzije polja

(tj. moraju biti oblika

gde

). E sad, mi kada započinjemo konstrukciju, uvek možemo koordinatni sistem postaviti tako da krećemo od polja

. Svaki put kada dobijemo novu tačku (kao presek nekih dotle postojećih objekata), imaćemo neku kvadratnu ekstenziju polja u kom smo dotle radili (ili ćemo možda čak i ostati u istom polju, nije ni bitno toliko). Pošto se konstrukcija po definiciji obavlja u konačnom broju koraka, mi time stignemo do polja koje se nalazi na kraju niza ovakvih sukcesivnih kvadratnih ekstenzija. Ali pošto je svaka ekstenzija bila kvadratna, vidimo da je to polje na kraju ekstenzija polja

stepena koji je stepen dvojke.

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2801 Profil

Re: Dokaz da neke konstrukcije nisu moguće

^{06.08.2020. u 23:17 - pre 57 meseci}

Hteo sam sinoć da napišem nešto slično, ali hajde da dopunim. Negde sam to pisao na ovom forumu, ali je teže naći jer se tema ne zove tako.

Elem,

Pod potpoljem od

podrazumevaćemo bilo koji podskup

takav da 0 i 1 pripadaju tom podskupu i da ako su

, onda i

. Najmanji takav skup je

. Međutim, ako je

bilo koje potpolje od

neki njegov pozitivan element, onda je i

potpolje od

.

Neka su

dva potpolja od

i neka je

. Tada je

jedan vektorski prostor nad poljem

. To znači da važe uobičajeni zakoni vezani za sabiranje i oduzimanje vektora i množenje vektora skalarom, kao u geometriji, s tim da su ovde skalari elementi skupa

, a vektori elementi skupa

.

Ako je pritom

neki niz vektora takav da za ma koji vektor

postoji tačno jedan niz skalara

tako da važi

, onda za niz vektora

kažemo da je baza vektorskog prostora

nad poljem skalara

.

Pritom se dokazuje da svake dve baze istog vektorskog prostora nad istim poljem skalara imaju isti broj elemenata. Drugim rečima, ne postoje baze

istog vektorskog prostora nad istim poljem skalara takve da je

.

Broj elemenata bilo koje baze vektorskog prostora

nad poljem skalara

se zove dimenzija vektorskog

nad poljem skalara

. U slučaju da je vektorski prostor neko polje, a polje skalara njegovo potpolje (kao kod nas), taj broj se obeležava sa

Ukoliko je

potpolje od

, onda važi formula

.

Neka je

neko potpolje od

bilo koji kompleksan broj. Najmanje potpolje od

koje sadrži sve elemente polja

, kao i

uvek postoji i obeležava se sa

.

Ukoliko ne postoji nijedan ne/nula polinom

sa koeficijentima iz

takav da je

, onda se za

kaže da je transcedentan element nad poljem

i tada važi formula

, a ako takav polinom postoji, onda kažemo da je

algebarski element nad

i važi formula da je

jednako najmanjem mogućem stepenu takvog polinoma.

Ako je

neko potpolje od

pozitivan realan broj, onda je

, i važi

jednako 1 ako

, odnosno 2 u suprotnom. U svakom slučaju je

.

Dakle, ako imamo niz

potpolja od

, takvih da za sve

važi

, onda je

za neki ceo nenegativan broj

.

Ako je pak

potpolje od

i ako je

, onda je

, odnosno da je

delitelj broja

. Dakle, ako je

raširenje polja

čiji je stepen neki stepen dvojke, onda je svaki element skupa

algebarski nad

(što znači da postoji polinom sa racionalnim koeficijentima stepena barem jedan, kome je taj element jedan od korena) čiji je stepen minimalnog polinoma (takvog polinoma najmanjeg stepena) jednak nekom stepenu dvojke.

Kakve to veze ima sa geometrijskim konstrukcijama?

Neka je na početku data jedinična duž. Možemo izabrati koordinatni sistem kome je jedan od krajeva koordinatni početak, a drugi kraj duži ima koordinate