Lema: Neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
bilo koji nenula vektor i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/61c2bc68c49bcf4fb53b1b401a8ce7d7.png)
bilo koji skup vektora takav da je vektor
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
u linearnom omotaču skupa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bcb7d36fee1b91aae21ac1cedc5d84b1.png)
Tada postoji vektor
![](https://static.elitesecurity.org/tex/00203305a6011da941ae74fe18357fd5.png)
takav da za skup
![](https://static.elitesecurity.org/tex/65e6131610f9ab13f1ce8ba5826cd103.png)
važi
a) Skupovi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/61c2bc68c49bcf4fb53b1b401a8ce7d7.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ec1f343c9bb6f61ba746af87ae55c045.png)
imaju iste linearne omotače.
b) Skup
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ec1f343c9bb6f61ba746af87ae55c045.png)
je linearno nezavisan ako i samo ako je skup
![](https://static.elitesecurity.org/tex/61c2bc68c49bcf4fb53b1b401a8ce7d7.png)
linearno nezavisan.
Dokaz: Neka su
![](https://static.elitesecurity.org/tex/185622dd5aea6a9cbfcee3b03f368eea.png)
u linearnom omotaču skupa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/fb982d41c8b4c7533f91ff0116ec3ba1.png)
nije nula vektor, biće
![](https://static.elitesecurity.org/tex/739d90720fe04965cdcc8db591f2fa88.png)
sledeće elementarne operacije: najpre vektor
![](https://static.elitesecurity.org/tex/1864d591e75a1507f37cdb420e6703b6.png)
a potom dobijenom vektoru dodajmo vektor
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0e78c6abaaafde2919732381b9cf72c4.png)
pomnožen sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0ab2cf291c71126b68a55914c8904fe9.png)
za sve
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0125b396dc21a1b91991e77116ceac48.png)
ako takvih ima. Rezultat će biti skup
![](https://static.elitesecurity.org/tex/45d6c1407b453f173a1704b6a736fc91.png)
a osobine a) i b) će biti posledice činjenice da je skup
Sada se tvoje tvrđenje dokazuje indukcijom po broju
![](https://static.elitesecurity.org/tex/18941089b86f1608ce4eb26ad3d3919e.png)
vektora iz sistema
![](https://static.elitesecurity.org/tex/db7c843b3d3a4dfb2b96b09178f4fda7.png)
koji se ne pojavljuju u sistemu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5b5365b119a9851386d9656048445af4.png)
Ako među vektorima
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e1a929c2c078dacf79bc4d3a71b07cef.png)
nema onih koji se ne pojavljuju u sistemu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/793357490a9057ab7bacf0422b3e9176.png)
onda tvrđenje svakako važi. U suprotnom, neka se vektor
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a5f6423d7c22c37bd522af94223b28c2.png)
ne pojavljuje u sistemu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5b5365b119a9851386d9656048445af4.png)
Pošto su vektori
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e1a929c2c078dacf79bc4d3a71b07cef.png)
linearno nezavisni,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a5f6423d7c22c37bd522af94223b28c2.png)
ne može biti nula vektor, pa će postojati neki vektor
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c2879b20c6e90a14ccf53291854fca98.png)
ima isti linearni omotač kao skup
![](https://static.elitesecurity.org/tex/46b472e43394dbaf2dd0cfc430c0952d.png)
Sada tvrđenje dokazuje primenom induktivne pretpostavke na sistem
![](https://static.elitesecurity.org/tex/db7c843b3d3a4dfb2b96b09178f4fda7.png)
i sistem koji se dobija zamenom vektora
![](https://static.elitesecurity.org/tex/67f1e1d959204dc0f98823ec3b4fd523.png)
u sistemu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a93d9f36fdcbb453b02d55947fecd7c0.png)
vektorom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/1c304f596926d8d13f65f9477830abea.png)
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.