Ako imaš integral oblika
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d34df41b4f7513aa05c7f386f48fc846.png)
gde je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c49d58905318747cd7be5d8499825b52.png)
racionalna funkcija, onda možeš da koristiš smenu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/cfd44894cf95c42d0878e844f344505b.png)
Ukoliko je pritom pointegralna funkcija neparna, onda se ona može dovesti do oblika
![](https://static.elitesecurity.org/tex/15821c24ac8b13e835d95f6ec94ca2a4.png)
gde je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/757b59e3665d5032b3ab0455cae366c9.png)
neka racionalna funkcija, pa možeš koristiti smenu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/1d2b3b8910c06e64e00615125290980a.png)
. Ukoliko je podintegralna funkcija parna, ona se može napisati kao
![](https://static.elitesecurity.org/tex/4638b459ab03fae3024feeda2b44b95e.png)
gde su
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f586621146ea4e8ab986ca418aecef60.png)
racionalne funkcije pri čemu je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c96e4ff2b735793cf885ac1f8da74159.png)
parna, a funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7b70714b34f60bddf74bfe077fc9f7c4.png)
neparna. Znači, dobijamo dva integrale oblika
![](https://static.elitesecurity.org/tex/32faebf791907444cb41251016d20f93.png)
od kojih se prvi svodi na racionalnu funkciju smenom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/3392ee79800259b3fd56c310e34b0053.png)
a drugi smenom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/993af8fbd4187b0a9d048577f18c9511.png)
Te smene su obično zgodnije kada je podintegralna funkcija parna ili neparna. Na kraju krajeva, svaka funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e4b4033bdf005af790b7b5f5d97927d6.png)
se može napisati kao zbir parne funkcije
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c97036c389ee02707006bc50b2d36fe1.png)
i neparne funkcije
Što se tiče, integrala oblika
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b1e7e75cfbd7e6b6e996fa092d7cd982.png)
gde je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/66a452e0cbf0d695a0da70d707b10375.png)
racionalna funkcija i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/41b4ea95996489917e71864559fc6110.png)
, postoje Ojlerove smene kojeih odmah prevode ove integrale u integrale racionalne funkcije. Ako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9dea70eaff9d28d3fd165730f90f484e.png)
onda se može koristiti druga Ojlerova smena
![](https://static.elitesecurity.org/tex/80f2362adaafc6fea6ba0c5dacf95f03.png)
gde su
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d12638ea7c129eca38e7f3a4301dc83f.png)
različiti koreni polinoma
![](https://static.elitesecurity.org/tex/141ab45a05d31bc8ff5fa26aca8fea38.png)
Ako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/2af07bb8049fd77a7335dc998fbbc988.png)
da bi integral imao smisla potkorena veličina u podintegralnoj funkciji mora da bude nenegativna na bar jednom intervalu koji se sastoji od više od jedne tačke. No, tada mora biti
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0ee683c84c2192b35f58299d6903716f.png)
pa mok\emo koristiti prvu Ojlerovu smenu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9db7e23e9ba01fed397f52a2c2ab6803.png)
Štaviše, tada potkorena veličina mora biti nenegativna na celom skupu realnih brjeva, pa i u nuli odakle je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/af579fb029717f815b8e5f43342e4b72.png)
Pritom jednakost važi samo ako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/dd210be011306e54b94d5b806772dcfd.png)
kada pod korenom imamko potpun kvadrat, pa podintegralna funkcija nije iracionalna. Dakle, zanimljiv je samo slučaj kada je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a9c8e8a0976023bed6183a6fb9be5441.png)
. U tom slučaju možemo koristiti treću Ojlerovu smenu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/85ca4a2a39e44dcfdad251ed74d008a8.png)
Ovi integrali se mogu svoditi i na integrale funkciaj koje se izražavaju kao racionalne funkcije trigonometrijskih ili hiperboličkih trigonometrijskih (a samim tim i preko
![](https://static.elitesecurity.org/tex/52adf9eafbe0e8ace83e201fa51232d5.png)
), ali ne mogu o svemu ovde da pišem. Jednostavno, ne možeš koristiti samo zbirku, već ti treba i neki udžbenik tamo svega toga već ima.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.