U pravu si. To se može dokazati na nekoliko različitih načina čak relativno brzo, ali sve one koriste metode više matematike pa sam to koristio kao činjenicu bez navođenja dokaza. Ako se ne varam qzqzqz rešava ovakve zadatke radi pripreme za takmičenje u srednjoj školi, a na svakom takmičenju će prihvatiti samo navođenje toga bez dokaza (zapravo, ne bi moralo da se dokaže ni da je tražena kriva kružnica već je dovoljno i to navesti kao poznato, ali od viška glava ne boli).
No, ipak evo i jednog dokaza koji to popravlja, nešto je duži ali za njegovo razumevanje dovoljno je poznavanje elementarne geometrije i nešto malo graničnih vrednosti.
Na osnovu
Leme 1 zaključujemo da je dovoljno razmatrati krive koje ograničavaju konveksnu površ. Neka je
jedna takva površ, i neka je
prirodan broj. Postavimo tačke
po ivici
tako da je dužina krive između bilo koje dve uzastopne tačke
(gde je
zadati obim). Neka je
mnogougao dobijen spajanjem uzastopnim tačaka
. Nacrtajmo pravilan
-ugao
sa centrom
i temenima
stranica dužine
. Neka su
i
paralelne i horizontalne tako da su
i
desno, i neka temena oba mnogougla idu u smeru suprotnom kazaljci na satu. Nacrtajmo sve duži
, i iz svake tačke
povucimo polupravu koja ima isti pravac i smer kao
. Ako se
i
seku u tački
označimo
, u suprotnom neka je
duž
. Sada ćemo pokazati dve stvari:
1)
(gde je
površina);
2)
1) Dovoljno je da posmatramo samo trouglove
(jer duži imaju površinu
). Dužina duži
je najviše
što je i dužina duži
, pa možemo povećati trougao
dok se ove dve dužine ne izjednače. Postavimo ih tako da im je ta stranica zajednička. Prema konstrukciji, naspramni ugao im je isti, pa sve četiri tačke leže na jednoj kružnici. Međutim, pošto je
jednakokraki, njegova visina na osnovicu je bar jednaka odgovarajućoj visini drugog trougla, pa mu je i površina bar jednaka površini trougla
.
2) Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji tačka
koja ne pripada ni jednoj figuri
. Prava
deli figuru
na dva dela, recimo
i
(gornji i donji), i neka
(drugi slučaj se rešava analogno). Povucimo horizontalnu liniju usmerenu nadesno
kroz
, i neka su temena
koja leže iznad
upravo
(dakle,
sa svoje desne strane seče duž
a sa leve
). Za
nazovimo još i
"desni" ako seče
desno od
, i "levi" ako seče
levo od
. Pošto su prema konstrukciji sve poluprave
usmerene nadole, svaka od njih je leva ili desna. Dalje možemo razlikovati tri slučaja:
a)
je desni.
Pokazaćemo da
. Neka je
horizontalna prava kroz
. Poluprava
seče
desno od
. Pošto je
, sledi da se
i
seku ispod
, pa i ispod
. Dakle,
.
b)
je levi.
Slučaj se radi analogno prethodnom.
c)
je levi, a
je desni.
Neka je
desni takav da je
maksimalno moguće. Tada je
levi. Duž
se nalazi iznad
, a pošto je
sledi da se
i
seku ispod
, pa
.
Iz 1) i 2) imamo:
Posle svega ovoga sledi ključan zaključak: ako uzmemo dovoljno veliko
biće
dovoljno blizu
, a
će dovoljno dobro aproksimirati površinu kruga obima
, čime je dokaz završen.
Da napomenem da je problem nalaženja krive konstantnog obima koja ograničava maksimalnu moguću površinu u literaturi poznat pod imenom
izoperimetrijski problem,
izoperimetrijska nejednakost ili
izoperimetrijska teorema.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
Lep zadatak .......
Registrovani: 4 ( Sasa Maletaski, valjan, branko tod, Bwe )
