U pravu si. To se može dokazati na nekoliko različitih načina čak relativno brzo, ali sve one koriste metode više matematike pa sam to koristio kao činjenicu bez navođenja dokaza. Ako se ne varam qzqzqz rešava ovakve zadatke radi pripreme za takmičenje u srednjoj školi, a na svakom takmičenju će prihvatiti samo navođenje toga bez dokaza (zapravo, ne bi moralo da se dokaže ni da je tražena kriva kružnica već je dovoljno i to navesti kao poznato, ali od viška glava ne boli).
No, ipak evo i jednog dokaza koji to popravlja, nešto je duži ali za njegovo razumevanje dovoljno je poznavanje elementarne geometrije i nešto malo graničnih vrednosti.
Na osnovu
Leme 1 zaključujemo da je dovoljno razmatrati krive koje ograničavaju konveksnu površ. Neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6cdbee8742bbb6cafdeedb9f9050570b.png)
jedna takva površ, i neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6ee20d21e6fb05e542cbebdd5c3fed5a.png)
prirodan broj. Postavimo tačke
![](https://static.elitesecurity.org/tex/76ccd9145ab85488c0dd7495eaaedc34.png)
po ivici
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6cdbee8742bbb6cafdeedb9f9050570b.png)
tako da je dužina krive između bilo koje dve uzastopne tačke
![](https://static.elitesecurity.org/tex/1020e3e51ab5cbe9b2092ad617ccae65.png)
(gde je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6aadf2b28bd788f99ee9f9f7d376a8be.png)
zadati obim). Neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/633f34a51bdb3995281b09f7d86d590a.png)
mnogougao dobijen spajanjem uzastopnim tačaka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/53b2be3a484c7209871a328d44df5152.png)
. Nacrtajmo pravilan
![](https://static.elitesecurity.org/tex/40ea3cee60a9279cfed24f2edf5482ea.png)
-ugao
![](https://static.elitesecurity.org/tex/606d929fde93928da33e62372f271e40.png)
sa centrom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9075aab6951a31aba20373736e380828.png)
i temenima
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d0dfde92ef70939504a312499d50c2bb.png)
stranica dužine
![](https://static.elitesecurity.org/tex/1020e3e51ab5cbe9b2092ad617ccae65.png)
. Neka su
![](https://static.elitesecurity.org/tex/870f723328ca44cdc3627bcf0b6296a2.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5dfb17cf649955e6db5ed72cb38b9e06.png)
paralelne i horizontalne tako da su
![](https://static.elitesecurity.org/tex/3de70d937b89304fc48346d9140842c7.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e3a971797b33401cdefaec4cb6c1b7e6.png)
desno, i neka temena oba mnogougla idu u smeru suprotnom kazaljci na satu. Nacrtajmo sve duži
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9210b388903e11773461c111dc2f718b.png)
, i iz svake tačke
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b93b2b4f6da080d421c8652bb5a25bba.png)
povucimo polupravu koja ima isti pravac i smer kao
![](https://static.elitesecurity.org/tex/268943820dd3b6ad67f7620e2ba9e5d6.png)
. Ako se
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b93b2b4f6da080d421c8652bb5a25bba.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5a969010cb9c4cba5dad7c9cedae9a50.png)
seku u tački
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0195f9043045c50be09346ca311d9da2.png)
označimo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e9ab94ec8c9a3f736cb02a75520714eb.png)
, u suprotnom neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0861ffed0cdb303198808c7d4e90fe2d.png)
duž
![](https://static.elitesecurity.org/tex/95e1ed99097b723c18a78fec08f70794.png)
. Sada ćemo pokazati dve stvari:
1)
![](https://static.elitesecurity.org/tex/309fcd697e10a1f3ec4cbffb9bb96ed2.png)
(gde je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/757b59e3665d5032b3ab0455cae366c9.png)
površina);
2)
1) Dovoljno je da posmatramo samo trouglove
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0861ffed0cdb303198808c7d4e90fe2d.png)
(jer duži imaju površinu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8b7c9641b1ad7e8e4b35882fa322ba70.png)
). Dužina duži
![](https://static.elitesecurity.org/tex/95e1ed99097b723c18a78fec08f70794.png)
je najviše
![](https://static.elitesecurity.org/tex/1020e3e51ab5cbe9b2092ad617ccae65.png)
što je i dužina duži
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b8f90c05bd863a1ba581f22c30eb568c.png)
, pa možemo povećati trougao
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0861ffed0cdb303198808c7d4e90fe2d.png)
dok se ove dve dužine ne izjednače. Postavimo ih tako da im je ta stranica zajednička. Prema konstrukciji, naspramni ugao im je isti, pa sve četiri tačke leže na jednoj kružnici. Međutim, pošto je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/512318d8704a9c70dc025249a8dd2c6a.png)
jednakokraki, njegova visina na osnovicu je bar jednaka odgovarajućoj visini drugog trougla, pa mu je i površina bar jednaka površini trougla
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0861ffed0cdb303198808c7d4e90fe2d.png)
.
2) Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji tačka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6e2757accfdb6f53b94268b6df4188a2.png)
koja ne pripada ni jednoj figuri
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0861ffed0cdb303198808c7d4e90fe2d.png)
. Prava
![](https://static.elitesecurity.org/tex/870f723328ca44cdc3627bcf0b6296a2.png)
deli figuru
![](https://static.elitesecurity.org/tex/633f34a51bdb3995281b09f7d86d590a.png)
na dva dela, recimo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8fd9a7106c4e993f90e7de823f98e94c.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f586a4a006a42339b96adec2a0b77561.png)
(gornji i donji), i neka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0cb7e5ae953cd21ce8e049bb554f4560.png)
(drugi slučaj se rešava analogno). Povucimo horizontalnu liniju usmerenu nadesno
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6f9e8d4df70ae79df89b59e7f5be006f.png)
kroz
![](https://static.elitesecurity.org/tex/62801f4db90d766e4b6380fd3a1fbd3a.png)
, i neka su temena
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8fd9a7106c4e993f90e7de823f98e94c.png)
koja leže iznad
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6f9e8d4df70ae79df89b59e7f5be006f.png)
upravo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/1f723c3567c1a5a9041eccc385e8dc4b.png)
(dakle,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6f9e8d4df70ae79df89b59e7f5be006f.png)
sa svoje desne strane seče duž
![](https://static.elitesecurity.org/tex/2b0b0fe91162b15b7e8851d82d47f926.png)
a sa leve
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b512d62b2274311642cfd1b6d69f1c11.png)
). Za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/29d67d694f41b3bb90fb7e914bfa50e2.png)
nazovimo još i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/357aff1b85ff8e4ac6c6d299d10f9a49.png)
"desni" ako seče
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6f9e8d4df70ae79df89b59e7f5be006f.png)
desno od
![](https://static.elitesecurity.org/tex/62801f4db90d766e4b6380fd3a1fbd3a.png)
, i "levi" ako seče
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6f9e8d4df70ae79df89b59e7f5be006f.png)
levo od
![](https://static.elitesecurity.org/tex/62801f4db90d766e4b6380fd3a1fbd3a.png)
. Pošto su prema konstrukciji sve poluprave
![](https://static.elitesecurity.org/tex/304a47be26b320731d1260cb797c7167.png)
usmerene nadole, svaka od njih je leva ili desna. Dalje možemo razlikovati tri slučaja:
a)
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b26fecca5cd48a750fa6275fc6ccc56d.png)
je desni.
Pokazaćemo da
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e3967fed3cd4353697d1fdaa2941dc9d.png)
. Neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b8a65f54f6fd5e59be18f65313a45bc5.png)
horizontalna prava kroz
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d0a48c035c3a278d36ace6f4fc6dacf7.png)
. Poluprava
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b26fecca5cd48a750fa6275fc6ccc56d.png)
seče
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b8a65f54f6fd5e59be18f65313a45bc5.png)
desno od
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d0a48c035c3a278d36ace6f4fc6dacf7.png)
. Pošto je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/523bea6f2c0dbe05eb05ccc3e979fc9c.png)
, sledi da se
![](https://static.elitesecurity.org/tex/abdd8428dd62c5d7beabd59b11931261.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b26fecca5cd48a750fa6275fc6ccc56d.png)
seku ispod
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b8a65f54f6fd5e59be18f65313a45bc5.png)
, pa i ispod
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6f9e8d4df70ae79df89b59e7f5be006f.png)
. Dakle,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e3967fed3cd4353697d1fdaa2941dc9d.png)
.
b)
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f56d579f83abe29dd86575cd5eb10be3.png)
je levi.
Slučaj se radi analogno prethodnom.
c)
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b26fecca5cd48a750fa6275fc6ccc56d.png)
je levi, a
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f56d579f83abe29dd86575cd5eb10be3.png)
je desni.
Neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/357aff1b85ff8e4ac6c6d299d10f9a49.png)
desni takav da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/86f1906f9267e48fd472a3a3e3019d64.png)
maksimalno moguće. Tada je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9a6bbe5b8ea9b38ae9989467d3be3a11.png)
levi. Duž
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8fd4396b9d64b9d97bf86b54487f1c12.png)
se nalazi iznad
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6f9e8d4df70ae79df89b59e7f5be006f.png)
, a pošto je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bb8c4fcd68e4c6dcaa0775bf673ac379.png)
sledi da se
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9a6bbe5b8ea9b38ae9989467d3be3a11.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/357aff1b85ff8e4ac6c6d299d10f9a49.png)
seku ispod
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6f9e8d4df70ae79df89b59e7f5be006f.png)
, pa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/54b35ceeb3be1eed8c5a1fe9200997bb.png)
.
Iz 1) i 2) imamo:
Posle svega ovoga sledi ključan zaključak: ako uzmemo dovoljno veliko
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bd2b320696c94ea17dd122cd137b965c.png)
biće
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c6851c82a72163789d0f3f5012a515df.png)
dovoljno blizu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bab0e3545cb7d2fa7b17d610e2823ac4.png)
, a
![](https://static.elitesecurity.org/tex/db807f416b8804310f64a83e71563983.png)
će dovoljno dobro aproksimirati površinu kruga obima
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6aadf2b28bd788f99ee9f9f7d376a8be.png)
, čime je dokaz završen.
Da napomenem da je problem nalaženja krive konstantnog obima koja ograničava maksimalnu moguću površinu u literaturi poznat pod imenom
izoperimetrijski problem,
izoperimetrijska nejednakost ili
izoperimetrijska teorema.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.