[es] - Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2056
*.vs.rs.

+391 Profil

Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih

^{13.01.2015. u 06:54 - pre 125 meseci}

Funkcija je zadata sa:

Ispitati diferencijabilnost u tački (0,0).

Po definiciji dobijam da jeste diferencijabilna.
Čak, mislim i da su parcijalni izvodi Fx i Fy neprekidne funkcije u tački (0,0), pa i po teoremi sledi diferencijabilnost.

U zbirci urade mešovite parcijalne izvode drugog reda u tački (0,0).
Dobija se, bez greške, da je:
Fxy(0,0) = -1
Fyx(0,0) = +1.
Pošto su različiti, zaključuju da funkcija nije diferencijabilna u tački (0,0).
Na osnovu čega?
Ko greši?

_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 13.01.2015. u 08:16 GMT+1]}

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
82.208.243.*

+2801 Profil

Re: Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih

^{13.01.2015. u 09:13 - pre 125 meseci}

Izvod po

.

Obzirom da je svaki od sabiraka unutar zagrada ograničen jedinicom, parcijalni izvod po

je po apsolutnoj vrednosti ograničen sa

, pa je neprekidan u tački

, tako da je tvoje rešenje tačno.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2056
*.vs.rs.

+391 Profil

Re: Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih

^{13.01.2015. u 10:20 - pre 125 meseci}

Hvala Nedeljko.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
95.180.37.*

+2801 Profil

Re: Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih

^{14.01.2015. u 08:19 - pre 125 meseci}

E, da, moje rešenje je nepotpuno. Neophodno je obrazložiti i neprekidnost u tački

što sledi iz

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2056
*.dynamic.sbb.rs.

+391 Profil

Re: Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih

^{02.01.2017. u 21:36 - pre 101 meseci}

Izvinjavam se, ali evo je i trećeg izdanja zbirke (skripte) i autori opet tvrde da nije diferencijabilna.

Urade mešovite parcijalne izvode drugog reda u tački (0,0).
Dobija se, bez greške, da je:

Fxy(0,0) = -1

Fyx(0,0) = +1.

Pošto su mešoviti izvodi različiti, zaključuju da funkcija nije diferencijabilna u tački (0,0).

Teorema o jednakosti mešovitih drugih izvoda ima zahtev neprekidnosti prvih izvoda.
Ali ne i uslov diferencijabilnosti.

Pošto je Nedeljko obrazložio neprekidnost izvoda po x, mora da pada neprekidnost izvoda po y.
Ili pada teorema o jednakosti mešovitih izvoda.
Ili pada interpretacija teoreme o jednakosti mešovitih izvoda od strane autora zbirke.

Po definiciji se dobija da je funkcija diferencijabilna.

Ajde da pogledamo izvod po

Ako bi i ovo bila neprekidna funkcija u (0,0) ne bi smeli mešoviti izvodi da budu različiti?
Ili bi smeli?

_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 03.01.2017. u 19:35 GMT+1]}

Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2056
*.dynamic.sbb.rs.

+391 Profil

Re: Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih

^{03.01.2017. u 18:35 - pre 101 meseci}

Neprekidan je i izvod po y.

Teorema o jednakosti mešovitih izvoda drugog reda ne zahteva neprekidnost parcijalnih izvoda prvog reda.
Samo njihovo postojanje.

Odgovor na temu