[es] - Zapremina piramide

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
62.193.129.*

+6 Profil

Zapremina piramide

^{29.08.2006. u 20:07 - pre 226 meseci}

Dokazati da je zapremina (nepravilne) trostrane piramide data izrazom

gde su

dužine bočnih ivica;

uglovi među bočnim ivicama;

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: Zapremina piramide

^{30.08.2006. u 05:12 - pre 226 meseci}

Neka je

vrh piramide i neka je:

Ako je

podnožje visine piramide iz temena

, onda definišemo

. Označimo i

Jasno je da postoje jedinstveni

za koje važi

. Nakon skalarnog množenja poslednje jednakosti sa

, odnosno sa

dobijamo sistem:

pa zatim i rešenje:

Nakon (ne baš kratkog) računa dobijamo:

Ako je

, onda, koristeći adicione formule (u širem smislu

), vidimo da je

Kako je

jasno je da formula iz postavke zadatka zaista važi.

@Farenhajt:

Nadam se da imaš neko humanije rešenje

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 30.08.2006. u 07:21 GMT+1]}

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
62.193.129.*

+6 Profil

Re: Zapremina piramide

^{30.08.2006. u 14:23 - pre 226 meseci}

Pa, imam samo malčice humanije rešenje. Pre svega, i dalje ostaje da se "peške" dokaže da je

. Međutim, ostala računica može se donekle uprostiti ako se uzme u obzir sledeće: Ukoliko se jedna bočna ivica neke trostrane piramide produži

puta, a druge dve ostanu nepromenjene, zapremina će se povećati

puta - što je očigledno ako se za bazu uzme trougao određen dvema nepromenjenim bočnim ivicama. Dakle, dokaže li se stav za

, dokazan je uopšte. Stoga analitički pristup postaje malo lakši: Uzmimo tačke

i postavimo uslove preko intenziteta i skalarnih proizvoda:

i čini mi se da se računica donekle pojednostavljuje jer se onda visina direktno dobija kao

, a površina baze je, jasno,

.

Dodatak: Ni ona trigonometrijska formula nije odveć komplikovana za dokaz - dovoljno je dvaput transformisati proizvod u zbir, i posle toga se uglavnom sve lepo sredi.

_{[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 30.08.2006. u 17:18 GMT+1]}

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: Zapremina piramide

^{30.08.2006. u 20:44 - pre 226 meseci}

Vrlo lepo

Redukcija

i posmatranje koordinata zaista značajno skraćuju račun!

Citat:

Farenhajt:

Dodatak: Ni ona trigonometrijska formula nije odveć komplikovana za dokaz - dovoljno je dvaput transformisati proizvod u zbir, i posle toga se uglavnom sve lepo sredi.

Ah...vidim da je i tebe ona moja prvobitna šala ostavila u nedoumici :

Citat:

uranium:

onda, koristeći adicione formule (i kvadratni metar papira

)

nakon što mi je skrenuta pažnja da nije baš jasno da se radi o šali (pa čak ni u čemu je

) - zamenio sam šalu (nadam se) razumljivijom

Da ne zaboravim još nešto: formula je baš lepa pa me zanima ima li neko ime? Zna li se njen autor?

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
62.193.129.*

+6 Profil

Re: Zapremina piramide

^{31.08.2006. u 09:06 - pre 226 meseci}

Nisam ni video tu prvobitnu šalu, koja se meni lično više dopada i sasvim mi je razumljiva

U vezi s nazivom formule i autorom nemam podatak, pokušaću da ga pronađem, mada je po formi vrlo "heronoidno-bramaguptična", so to speak

Odgovor na temu

djoka_l
Beograd

Član broj: 56075
Poruke: 3569

Jabber: djoka_l

+1527 Profil

Re: Zapremina piramide

^{31.08.2006. u 11:02 - pre 226 meseci}

Pokušao sam da nađem tu formulu na netu, ali se pominje samo verzija sa cos, dok ove sinusne nema. Baš šteta, jer se mnogo lakše pamti, a ne može joj se poreći ni estetika. Stvarno deluje čudesno kao veza između površine trougla i zapremine piramide.

Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
62.193.129.*

+6 Profil

Re: Zapremina piramide

^{31.08.2006. u 16:13 - pre 226 meseci}

Kad već pomenuh Bramaguptu, lako je moguće da bi se za konsferičnu četvorostranu piramidu dalo izvesti nešto tipa

gde bi grčka slova imala slično značenje kao u prethodnom slučaju, ali priznajem da a tempo ne vidim čemu bi bio jednak faktor

Odgovor na temu