Nažalost, nemam trenutno nikakav program za crtanje geometrijskih slika (preporuke? adrese? hvala unapred
), pa vas molim da uložite mentalni napor pri praćenju dokaza.
Lema 1: Ako je osnovica jednakokrakog trougla
a, a odgovarajuća visina
h, onda je odstojanje ortocentra od osnovice
.
Dokaz preko sličnosti. Neka je C teme, AB osnovica, CM visina i H ortocentar jednakokrakog trougla. Tada su trouglovi AMH i CMB slični (pravougli kojima odgovarajući uglovi imaju normalne krake), te je
tj.
, odakle je
Lema 2: Visina na hipotenuzu pravouglog trougla čije su katete
a i
b, a hipotenuza
c iznosi
.
Dokaz elementaran, pošto je
, gde je
P površina trougla.
Lema 3: Podnožje visine na hipotenuzu pravouglog trougla čije su katete
a i
b, a hipotenuza
c deli hipotenuzu na delove dužine
(uz katetu
a) i
(uz katetu
b).
Dokaz takođe prost, primenom sličnosti. Ako je AB hipotenuza, a CM visina pravouglog trougla, onda su trouglovi ABC i AMC slični (zajednički ugao), pa se ima
tj.
, odakle je
. Slično je i
.
Dokaz glavnog tvrđenja. Neka je AS visina trougla ABC (time je S i centar kružnice
k), neka je Q druga presečna tačka kružnice
k i duži AF, i neka se duži EQ i PF seku u tački T. Dokazaćemo da su tačke M, T i N kolinearne, iz čega će, zbog simetrije, slediti da je T središte duži MN.
Neka je AB = AC = b, BC = a, AS = h. Pošto je SM hipotenuzna visina trougla ASB (AB je tangenta, a SM poluprečnik kružnice
k, pa je ugao BMS prav), prema Lemi 2 imamo da je
, a prema Lemi 3 je
. Neka je MK visina pravouglog trougla MBS. Prema Lemi 2 imamo da je
.
Nadalje, trougao AEF je jednakokrak (AE = AF, što se lako dokazuje preko podudarnosti trouglova ASE i ASF), a T je ortocentar tog trougla, jer su uglovi EPF i EQF pravi, kao uglovi nad prečnikom EF. Pošto je SM = SE = SF (poluprečnici), sledi da je EF = 2SM =
, pa je prema Lemi 1
Pošto je TS = MK, dokazali smo da su tačke M, T i N podjednako udaljene od osnovice BC, te su stoga kolinearne, pa je T središte duži MN.
[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 20.12.2005. u 19:50 GMT+1]
Elementarna geometrija
(
). Kruznica 
sa centrom u sredistu osnovice sece osnovicy u tackama 
i 
i dodiruje krake ovog trougla tackama 
i 
. Neka je 
druga tacka preseka kruznice 
. Dokazati da prava 
prolazi kroz srediste duzi 
.
