[es] - [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.smin.sezampro.yu.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+621 Profil

[Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{12.08.2005. u 19:56 - pre 239 meseci}

Evo još jednog zadatka od mene, ovo rešenje koje ja znam i nije baš jednostavno ali možda neko pronađe i neko jednostavnije.

Dat je prirodan broj

. Da li postoji funkcija

takva da je

za svako

?

\\edit: Bio je problem sa TeXom koji je sada ispravljen.

_{[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 16.08.2005. u 10:27 GMT+1]}

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

neor
Nenad Orlovic

Član broj: 26828
Poruke: 74
*.metrohive.net.

Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{13.08.2005. u 12:47 - pre 239 meseci}

Mislim da imam jedno resenje.

Definisemo pomocne funkcije F_b(x) za b=2,3,...

F_b(x) =
{
0 za x=0;
1 za b^2k <= x < b^2k+1, k ceo broj;
-1 za b^2k+1 <= x < b^2k, k iz Z
}

Sada za svako n funkciju f(x) definisemo preko pomocnih funkcija F_b:

f(x) = F₂(x) +...+ F_n(x)

Ovako konstruisana funkcija zadovoljava uslove zadatka.

Izgleda suvise jednostavno pa se bojim da sam negde zabrljao.

_{[Ovu poruku je menjao neor dana 13.08.2005. u 13:50 GMT+1]}

Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.smin.sezampro.yu.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+621 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{13.08.2005. u 14:15 - pre 239 meseci}

Zanimljivo deluje, ali bojim se da nije dobro. Nisi rekao kako definišeš tvoje pomoćne funkcije za negativne brojeve ali to je manje bitno jer ih možeš definisati isto kao i pozitivne - ako valja jedna strana valjaće i druga. Međutim, ovde imaš veću grešku, konkretno recimo za

ako ubaciš

dobiješ da je

što se ne slaže sa uslovom

.

U svakom slučaju jako mi se sviđa ideja i sigurno može da se iskoristi nekom drugom prilikom.

_{[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 26.08.2005. u 11:09 GMT+1]}

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

neor
Nenad Orlovic

Član broj: 26828
Poruke: 74
*.metrohive.net.

Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{13.08.2005. u 15:02 - pre 239 meseci}

Da, nisam pazio na taj prvi uslov to da ne moze da bude nula nigde osim u nuli :(

Odgovor na temu

malada
mladen i
beograd

Član broj: 29411
Poruke: 238
*.dial.b92.net.

+1 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{26.08.2005. u 02:39 - pre 238 meseci}

Ja sam malo razmisljao ali uspjeo sam da nadjem rijesenje samo za parno n.
f(X)=sin((10x/pi))+2 za x element [2k,2k+1)
f(X)=sin((10x/pi))-2 za x element [2k+1,2k+2)
Nije nesto ali...

Reko mi tvoj brat da studiras za programatora!

Odgovor na temu

StratOS
Slovenija

Član broj: 2234
Poruke: 989
*.cable.triera.net.

+1 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{11.09.2005. u 10:53 - pre 238 meseci}

Malo na brzinu ako je f(x) polinom

ako je
f(0)=0 onda je
f'(n*x)=n*f'(x)=0
f''(n*x)=f''(n)*f''(x)
f''(n)=0

_{[Ovu poruku je menjao StratOS dana 11.09.2005. u 12:05 GMT+1]}

Pozdrav StratOS
"Multitasking - ability to f##k up several things at once."
"It works better if you plug it in."
"As a rule, software systems do not work well until they have been used, and have failed repeatedly, in real applications."
"The one who is digging the hole for the other to fall in is allready in it."

Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.smin.sezampro.yu.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+621 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{02.12.2005. u 13:49 - pre 235 meseci}

@malada:

Čini mi se da ovo ne radi (ni za parno ni za neparno

). Možeš li malo da pojasniš šta si hteo da kažeš?

@StratOS:

Kakve to ima veze sa rešenjem zadatka?

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

malada
mladen i
beograd

Član broj: 29411
Poruke: 238
*.dial.b92.net.

+1 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{22.01.2006. u 12:20 - pre 233 meseci}

E pazi imam jednu ideju, ovo gore nevalja nista, radi za x=1 ili tako nesto. Ideja da funkciju zadam (za dato parno n) sa f(ix)=(-1)^i*(x/i) ali je problem sto funkcija nije jednoznacna, ako bi ovo uspio da premostim onda bi lako moglo da se uopsti i za neparno n.

Reko mi tvoj brat da studiras za programatora!

Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.ADSL.neobee.net.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+621 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{22.01.2006. u 12:51 - pre 233 meseci}

Nije mi jasan cilj koji želiš da postigneš. Možeš li da na primeru pokažeš zašto bi u tvojoj konstrukciji važili uslovi zadatka? Nije bitno što funkcija nije jednoznačno određena, odaberi vrednosti kako god ti hoćeš samo da vidim na šta ciljaš, pa posle možemo dorađivati.

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

malada
mladen i
beograd

Član broj: 29411
Poruke: 238
*.dial.b92.net.

+1 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{22.01.2006. u 12:57 - pre 233 meseci}

Pa nesto tipa x=3 f(3)+f(2*3)+f(3*3)+...+f(n*3)=0, ali vidim da mnooogo nije jednoznacna.

Reko mi tvoj brat da studiras za programatora!

Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.ADSL.neobee.net.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+621 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{22.01.2006. u 13:02 - pre 233 meseci}

Aha, razumem, hoćeš da se svaka dva susedna međusobno ponište. Ne vidim sada kako bi to moglo, za cele brojeve možda nekako i prođe, ali još je veći problem što mi ovde radimo sa realnim brojevima a tu možemo da odredimo

bukvalno proizvoljno. Razmisliću, ali ne verujem da ovako može.

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

malada
mladen i
beograd

Član broj: 29411
Poruke: 238
*.dial.b92.net.

+1 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{22.01.2006. u 13:21 - pre 233 meseci}

Jesi li probao da se zajebavas sa redovima?
Ja sam pokusao da napravim nesto od (valjda) ojlerove funkcije (njene male modifikacije) f(x)=1 ako je x racionalan a -1 ako je iracionalan ali izgleda da neide tako.

Reko mi tvoj brat da studiras za programatora!

Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
*.tehnicom.net.

+6 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{23.01.2006. u 12:01 - pre 233 meseci}

Mene ovo neodoljivo podseća na jedan zadatak koji je uranium rešio (ne mogu sad da nađem topic), a tiče se funkcije na pravilnim poligonima. Ovde su poligoni, doduše, degenerisani, ali mislim da je princip vrlo sličan - tamo je dobijen rezultat da funkcija mora biti identički jednaka nuli, te se uslov

ne može zadovoljiti.

Uraniume, ako sam na dobrom tragu, preuzmi.

Odgovor na temu

srki
Srdjan Mitrovic
Auckland, N.Z.

Član broj: 2237
Poruke: 3654
*.dialup.xtra.co.nz.

+3 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{23.01.2006. u 12:34 - pre 233 meseci}

Ajde na brzinu da napisem sta mi pada na pamet. Mislim da funkcija postoji ali ne mogu tacno da nadjem kako glasi jer dobijem jednacinu cije resenje ne mozemo predstaviti elementarnim funkcijama nego ga mozemo numericki naci ako zelimo odredjenu preciznost. Verovatno je svima prvo palo na pamet da se iskoristi stepenovanje kompleksnog broja jer ako je x=1 onda cemo imati f(1)+f(2)+...+f(n)=0 a ako je funkcija ((n-ti koren iz 1) na x) [neka moderator ubaci tex ako ga ne mrzi ili cu ja sutra] onda cemo u zbiru imati nula. Naravno posto se trazi preslikavanje iz R u R onda mozemo uzeti samo Realni ili imaginarni deo te funkcije. Sada ostaje problem sto mi nemamo f(1)+f(2)+..+f(n)=0 vec f(x)+f(2x) itd...To mozemo resiti tako sto cemo prvo uzeti logaritam od toga pa onda neki kompleksni broj stepenovati sa tim brojem. Znaci f(x)=Re{C^(logx)} ili f(x)=Im{C^(logx)}.
Zasto tako? Zato sto kada

razvijemo onda dobijemo Re{(C^(logX))*(C^(log1)+C^(log2)+..+C^(logn))}. Nadam se da nisam negde pogresio do ovde. E sada samo treba naci C tako da bude (C^log1+C^log2+..+C^logn)=0 sto je moguce uraditi zbog [Izgleda da ovo nije tacno, nesto mi palo na pamet ali sam izgleda pogresio. Mozda mogu da se iskoriste neka svojstva analitickih funkcija ali nemam sad vremena da procesljavam teoreme]. E sada nam ostaje jos samo da resimo problem kada je f(x)=0 ali nisam dalje razmisljao o tome. Mozda da stavimo neku diskretnu vrednost (npr. 1) pa onda za ostale f(2x), f(3x) itd da stavimo neke druge vrednosti. Bojane, je l' sam na dobrom putu ili sam totalno omasio?

_{[Ovu poruku je menjao srki dana 23.01.2006. u 14:00 GMT+1]}

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{23.01.2006. u 13:25 - pre 233 meseci}

Citat:

Farenhajt: Mene ovo neodoljivo podseća na jedan zadatak koji je uranium rešio (ne mogu sad da nađem topic), a tiče se funkcije na pravilnim poligonima. Ovde su poligoni, doduše, degenerisani, ali mislim da je princip vrlo sličan - tamo je dobijen rezultat da funkcija mora biti identički jednaka nuli, te se uslov

ne može zadovoljiti.

Uraniume, ako sam na dobrom tragu, preuzmi.

Da, na odličnom si tragu

i ja od momenta kad je zadatak postavljen imam tako neku "geometrijsku" ideju sa politopima.

Pošto trenutno nemam vremena, napisaću samo osnovnu ideju:

Neka je

skup prvih

prostih brojeva. Definišemo relaciju ekvivalencije na skupu

na sledeći način:

. Dovoljno je da definišemo funkciju na svakoj od klasa ekvivalencije.

Sada uzmimo

dimenzionalni koordinatni sistem i svakoj osi pridružimo jedan od onih

prostih brojeva (svakoj celobrojnoj tački

na osi

pridružimo broj

).

Neka je

proizvoljna netrivijalna klasa ekvivalencije relacije

i neka je

njen bilo koji predstavnik. Uočimo politop sa temenima u tačkama skupa

odaberimo vrednosti f-je u tim tačkama proizvoljno ali tako da važi uslov zadatka. Sada možemo ovaj politop da transliramo paralelno svakoj od osa (što se u stvari svodi na množenje/deljenje odgovarajućim prostim brojevima) i da vršimo dalje definisanje f-je, ali ovde stvari postaju suviše tehničke, pa ću to da objasnim detaljno večeras.

Inače, znam za jedno neverovatno rešenje preko Hamel-ove baze, ali njega nisam ja smislio

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 23.01.2006. u 14:27 GMT+1]}

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
*.tehnicom.net.

+6 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{23.01.2006. u 13:34 - pre 233 meseci}

Mada ni Srkijeva ideja ne izgleda loše. Doduše, možda se može pojednostaviti, ako se stavi da je

gde

zadovoljava uslov

. Samo još da se dokaže da takvo

postoji, i da

ne postaje čisto imaginaran broj ni za jedno

. (Ovo drugo mi deluje kao znatno veći kamen spoticanja.)

_{[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 23.01.2006. u 14:47 GMT+1]}

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{24.01.2006. u 13:28 - pre 233 meseci}

Evo, da dopunim onaj moj prethodni post.

Prvo, obrazloženje zašto uopšte posmatramo onu relaciju

i politope. Izaberimo bilo koje

. Posmatrajmo sada sve skupove od po

brojeva na koje će definisanje broja

imati uticaja:

.

Jasno je da se svaki od ovih skupova može dobiti multiplikativnom translacijom bilo kog drugog navedenog skupa. Ali sada moramo da definišemo f-ju i u svim preostalim navedenim tačkama, što nas opet vraća na generisanje novih

-torki (koje se opet mogu dobiti translacijom ovih postojećih). A za samu translaciju dovoljno je da množimo (odnosno delimo) samo sa prostim brojevima ne većim od

.
Neka je

prost broj i neka je kao i obično

f-ja definisana na

.

Ako uzmemo kao u mom prethodnom postu da je

skup prvih

prostih brojeva, onda definišimo multiplikativnu grupu generisanu skupom

tj. neka je

.
Sada primetimo da prilikom svake translacije politopa

(pri čemu je

) "za" broj

dobijamo novi politop koji će imati zajedničkih temena sa prethodnim, ali će (a to je bitnije) imati i barem jedno novo teme. Evo barem jednog novog temena: neka je

neka je

teme politopa kod koga je

ako je translirano za

odnosno

ako se radi o translaciji za

. Lako je videti da za celo

translati za

nemaju zajedničkih temena. A u slučaju kada je

onda pomenuti translati imaju barem po jedno teme koje se nije "pojavilo" ni u jednom translatu za

gde je

.

Dakle, nakon inicijalnog definisanja f-je u temenima osnovnog politopa, svaka njegova elementarna translacija imaće neprazan skup novih temena pa ćemo moći da f-ju dodefinišemo u njima tako da f-ja zadovolji traženi uslov na translatu.

Najzad smo spremni da krenemo na glavni deo.
Potreban nam je neki algoritam koji će nam translacijom "prošetati" osnovni politop

po svim preostalim politopima (sa temenima iz iste klase ekvivalencije) ali tako da preko svakog pređemo tačno jednom.
Neka je operator

translacija za

(

) i neka je

. Od sada pa na dalje za "kretanje" po hiperprostoru koristićemo nizove pomenutih translacija:

. Znači prvih

vrednosti za

biće

.

Ideja je da definisanje f-je izvršimo induktivno, i sada bi ovde lepo legla priča preko ordinala i afinih potprostora, koju ću ja pokušati da formalno (ali ne i suštinski

) izbegnem.

Već smo uočili da svaki politop možemo predstaviti u obliku,

, pri čemu je

. Dakle, broju

odgovaraju koordinate

. Da bismo pratili "kretanje" politopa

dovoljno je da pratimo koordinate broja

. Evo kojim redom će se vršiti dodefinisanje:

...

...

Dakle, u prvom koraku držimo fiksirane koordinate

(

) a za svako

šetamo

. Kada to završimo (joj šta bi Kroneker rek'o za ovo

) onda stavimo da je

a opet prošetamo

za svako

. Zatim, stavimo da je

a opet prošetamo

itd.

Mislim da je jasna šema: ako je izvršeno potpuno definisanje f-je za politope kod kojih je

za sve

onda definišemo f-ju (rekurentno po dužini

početnog dela

-torke) i u svakom politopu kod koga je

.

Da zaključimo: za sve je kriv Farenhajt

da me nije prozvao - ne bih nikog ni mučio sa ovako "elegantnim" idejama

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{25.01.2006. u 13:30 - pre 233 meseci}

Evo, da napišem i ono pomenuto state of the art rešenje

Neka je

prost broj i neka je za svako

(znači

). Sada možemo da proširimo domen f-je

na ceo skup

uzimajući da je za svako

.

Za dato

izaberimo prosto

takvo da je

. To je uvek moguće: za

direktno proveravamo , a ako je

onda to sledi iz Bertrandovog postulata, jer mora da postoji prosto

za koje važi

.

Neka je

, uočimo da je

za svako

i da je

.

Neka je

proizvoljno.

Skup

možemo da shvatimo i kao vektorski prostor nad

, a postojanje Hamel-ove baze nam daje i neku praktičnu korist od toga. Drugim rečima postoji neka familija realnih brojeva

, takva da za dato

postoje jedinstveni brojevi

i jedinstveni vektori iz baze

, označimo ih sa

, takvi da važi

.

Najzad, definišimo

.

Proverimo da li su ispunjeni uslovi zadatka. Zbog jedinstvenosti reprezentacije, jasno je da važi

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 25.01.2006. u 15:02 GMT+1]}

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.ADSL.neobee.net.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+621 Profil

Re: [Zadatak]: Dosta teška funkcionalna jednačina (zahteva malo više matematike)

^{29.01.2006. u 00:52 - pre 233 meseci}

Bravo za uraniuma!

Voleo bih samo da izdvojim ovaj detalj.

Citat:

uranium:
Sada primetimo da prilikom svake translacije politopa

(pri čemu je

) "za" broj

dobijamo novi politop koji će imati zajedničkih temena sa prethodnim, ali će (a to je bitnije) imati i barem jedno novo teme. Evo barem jednog novog temena: neka je

neka je

teme politopa kod koga je

ako je translirano za

odnosno

ako se radi o translaciji za

. Lako je videti da za celo

translati za

nemaju zajedničkih temena. A u slučaju kada je

onda pomenuti translati imaju barem po jedno teme koje se nije "pojavilo" ni u jednom translatu za

gde je

Jasno mi je šta pokušavaš da dokažeš, i intuitivno mi je jasno da to jeste zaista tako, ali ipak nisam uspeo da u potpunosti rastumačim tvoj način rezonovanja u ovom pasusu. Možeš li, molim te, malo da pojasniš?

Za ostatak sam siguran da je dobro i još jednom sve čestitke.

Citat:

Farenhajt:
Mene ovo neodoljivo podseća na jedan zadatak koji je uranium rešio (ne mogu sad da nađem topic), a tiče se funkcije na pravilnim poligonima. Ovde su poligoni, doduše, degenerisani, ali mislim da je princip vrlo sličan - tamo je dobijen rezultat da funkcija mora biti identički jednaka nuli, te se uslov

ne može zadovoljiti.

Pretpostavljam da misliš na ovu temu, ali, iskreno, mislim da su ova dva zadatka suštinski potpuno različiti.

Citat:

uranium:
Da zaključimo: za sve je kriv Farenhajt :) da me nije prozvao - ne bih nikog ni mučio sa ovako "elegantnim" idejama :)

Da zaključimo: za sve je zaslužan Farenhajt :) da te nije prozvao - ne bismo nikad imali prilike da pročitamo ovo zaista sjajno rešenje :)

Rešenje koje sam ja imao u vidu kada sam postavio zadatak je ovo drugo po redu koje je dao uranium (sa Hamelovom bazom). To mi se tada jako svidelo, ali sada kada vidim ova dva remek dela jedno do drugog ne znam više šta da mislim :) Btw., uraniume, možeš li da mi kažeš, s obzirom na to što si rekao da rešenje nije tvoje, gde si ga pronašao?

Za kraj, voleo bih da pomenem srkijevu ideju i Farenhajtovo pojednostavljenje. Prčkao sam nešto malo oko toga ali nažalost nisam uspeo ništa inteligentno da smislim, mada bi bilo jako lepo kada bismo i to mogli da dovršimo, pa ako je neko raspoložen neka pokuša.

U svakom slučaju, meni je jako drago što sam konačno izbacio ovaj problem iz liste nerešenih zadataka. :)

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu