Dakle, da zanemarimo dobacivanja iz publike tipa "Zaboravio si Plankovu konstantu", problem je u tome što ovde neko ne zna šta je verovatnoća. Sada neću pričati o formalnoj definiciji već o naivnoj definiciji
gde je p verovatnoća, n
p broj povoljnih događaja, n
uk broj ukupnih događaja, pri čemu mora biti jasno šta su sve mogući događaji, i na koliko načina se nešto može desiti.
Primer 1 (jednostavan primer)
Baca se kockica sa 6 strana. Koja je verovatnoća da će se dobiti broj deljiv sa 3.
Skup elementarnih događaja je (to je
šta se sve može desiti)
, Dakle n
uk=6. Sa druge strane nas zanimaju slučajevi kad je taj broj deljiv sa 3. Dakle A={3,6}, tj n
p=2. Najzad
. Kao što vidimo, mada imamo u osnovi dva slučaja (Broj je deljiv sa tri / broj nije deljiv sa 3), verovatnoća je
Primer 2 (paradoks deMera)
Kao što vam je, verovatno, svima poznato, Blez Paskal (isti kome prog jezik Pascal duguje svoje ime), je bio jedan od utemeljivača Verovatnoće kao matematičke grane. Za deMera ne zna mnogo ljudi, ali i on ima svoje zasluge. U pitanju je matematičar-amater, koji je bio dobar prijatelj sa Paskalom, pomagao ga ponekad finansijski (deMer je bio plemićkog porekla) i strašno se interesovao za Paskalov rad. Uz to je bio kockar. Praktično je čitao Paskalove radove dok ih je ovaj pisao. Budući da je uz to znao nešto matematike sračunao je nešto zanimljivo...
Ne znam kako se zvala omiljena deMerova igra, ali se igrala na sledeći način:
Bacaju se 3 kockice, sabiraju vrednosti koje su dobijene. Igrači se klade na zbir.
DeMer je kontao:
mogućnost da je zbir 11 {(1,4,6),(1,5,5),(2,3,6),(2,4,5),(3,3,5),(3,4,4)};
mogućnost da je zbir 12 {(1,5,6),(2,4,6),(2,5,5),(3,3,6),(3,4,5),(4,4,4)};
dakle verovatnoće su jednake. Kladio se na 12 (dobija se više para) i - izgubio brdo para.
Paskal mu je kasnije objasnio da ovo nisu sve mogućnosti. Naime deMer je posmatrao kombinacije, a ne varijacije. U računu deMera, bitno je da su neki brojevi dobijeni, a ne na kojoj kockici je dobijen koji broj. Pravo rešenje bi bilo da je računao varijacije (to znači da je umesto ,npr (1,4,6), računao (1,4,6), (1,6,4), (4,1,6), (4,6,1), (6,1,4), (6,4,1) ) te mu dao formulu
, gde su n
m pojavljivanja pojedinih brojeva. U ovom slučaju:
kad u kombinaciji imamo 3 mađu sobom različita broja tad je V=6C,
kad u kombinaciji imamo 2 jednaka broja i jedan različit od njih tad je V=3C,
kad u kombinaciji imamo 3 jednaka broja tad je V=C.
Dakle
mogućnosti da je zbir 11
mogućnosti da je zbir 12
Pošto mu je Paskal sve to tako lepo objasnio, deMer je ostao prijatelj sa njim, ali mi nije poznato da li se i dalje kockao. Paskal je raskinuo prijateljstvo sa njim kasnije, kad je postao verski fanatik, ali to nije matematička priča.
Primer 3 (Arhimedov paradoks)
Odmah da kažem: Nije mi jasno zašto se ovo zove Arhimedovim paradoxom, ali ga možete naći pod tim imenom u literaturi.
Zamislite dva koncentrična kruga, od kojih je jedan dvostruko manjeg prečnika od drugog. Koja je verovatnoća da, slučajno izabrana, tetiva veće kružne linije seče manju kružnu liniju ?
Znamo da je tetiva zadata
a)pomoću centra i pravca.
b)pomoću svojih krajeva
a) Podsetimo se da
1) Prava seče kružnu liniju akko je podnožje normale iz centra kruga na dotičnu pravu unutar kruga
2) Prava koja spaja središte tetive i centar kruga je normalna na tetivu.
3) koncentrični znači
sa istim centrom
a
1)
Sad vidimo da, ako izaberemo prvo središte tetive, pa onda pravac tetive, tetiva seče malu kružnu liniju akko je centar tetive u malom krugu.
gde je P
mk površina malog, a P
vk površina velikog kruga.
a
2)
Ako prvo izaberemo pravac, onda znamo da središte tetive leži na pravoj normalnoj na dotični pravac(ubuduće - prava
n). Verovatnoću merimo kao odnos dužina duži na pravoj
n, konkretno d
1 -duž koja je u malom krugu, d
2 - duž koja je u velikom krugu
b) ako fixiramo jedan kraj tetive na velikom krugu, pa iz njega konstruišemo tangente na mali krug, vidimo da tetiva seče mali krug akko pripada uglu koji sačinjavaju dotične tangente ili njemu unakrsnom. Znači treba naći ugao pod kojim se iz dotične tačke vidi mali krug.
Kao što znamo,
, gde je r poluprečnik malog kruga, d - rastojanje od tačke do centra malog kruga (a to je poluprečnik velikog kruga), pa je
Dakle ugao pod kojim se vidi mali krug
Sad
Daklem, verovatnoća zavisi od toga kako uzimamo da je zadata tetiva.
Napominjem ako ne znamo šta sve utiče na zadati proces, ne znamo ni verovatnoću. Ako se sva imena na tom tvom kokursu izvlače potpuna slučajno (npr na 3 identična listića se napišu sva imena, a onda se izvlači listić), onda ti je verovatnoća
Ako se traži odgovarajuća stručnost verovatnoću je teško izračunati.
Ako ti znaš jednog člana komisije, drugi kandidat zna drugog člana, a treći nikog, verovatnoća je
.
Ako ona dvojica znaju nekog iz komisije, a ti nikog, verovatnoća da dobiješ posao je 0
Problem u postocima
