Pa kažem, otkrio si rupu na saksiji.
Odavno se zna koji uglovi mogu da se konstruišu: Uglovi za koje važi da je
racionalan broj a imenilac je proizvod stepena broja 2 i različitih Fermaovih prostih brojeva (to su prosti brojevi oblika
, na primer 3, 5, 17, 257, 65537, ...)
Ako za neki ugao
može da se konstruiše
, onda može i da se uradi trisekcija.
Da proverimo tvrdnju za ugao od 54 stepena. On je jednak 3pi/20, pa kada se to podeli sa 2pi dobije se 3/40.
3/40 je racionalan broj (imenilac i brojilac su međusobno prosti, pa ne može dalje da se skrati)
40 je proizvod broja 8 (2 na treći stepen) i broja 5 (drugi Fermaov prost broj).
Trećina tog ugla podeljena sa 2pi je 1/40 - može da se konstruiše.
Da proverimo za ugao od 20 stepeni, on je jednak pi/18, pa kada ga podelimo sa 2pi ispadne 1/36.
1/36 je racionalan broj
36 je proizvod od 2 na kvadrat i 3 na kvadrat. E, sad, 2 na kvadrat je OK, ali da bi konstrukcija bila moguća, svi ostali faktori imenioca moraju da budu RAZLIČITI Fermaovi prosti brojevi, što ovde nije slučaj. 3 jeste Fermaov broj, ali se pojavljuje dva puta. Dakle 20 stepeni je trećina od 60 stepeni i ne može da se konstruiše (iako ugao od 60 stepeni može da se konstruiše).
Naravno i svi uglovi koji su razlika ili zbir uglova koji mogu da se konstruišu, takođe mogu da se konstruišu (jer je, prvo, zbir dva racionalna broja takođe racionalan broj i, dva, imenilac zbira ili razlike dva racionalna broja je najmanji zajednički sadržalac ta dva imenioca pa ispunjava uslov da predstavlja proizvod stepena broja dva i različitih Fermaovih prostih brojeva, ako su početni sabirci takođe ispunjavali isti zahtev).
Takođe, ako se dozvoli da se bisekcija može raditi beskonačan broj puta, onda svaki ugao može da se konstruiše, ali to nije dozvoljeno. Postupak mora da se završi u konačnom broju koraka, da bi bio u skladu sa originalno postavljenim zadatkom...
[Ovu poruku je menjao djoka_l dana 22.05.2014. u 10:08 GMT+1]
Srđanova matematika
Registrovani: 1 ( Shadowed )
Re: Srđanova matematika