Da održim obećanje.
Po mom mišljenju, nemoguće je svakog matematičara na svetu lepo uklopiti u neki od desetak „kalupa“ koji opisuju filozofske pravce matematike; vrlo je verovatnije da će se nečiji određeni stavovi uklapati u jedan pravac, ali da će o nekim stvarima razmišljati na način koji se nalazi u opisu nekog drugog pravca itd. A drugo, ne verujem da neki veći broj članova ovog foruma ume da, čim se pomene naziv određenog filozofskog pravca, iz rukava istrese bitne odlike tog pravca (zapravo, ja prvi to ne umem), pa, primera radi, Nedeljkovo izjašnjavanje da je njemu najbliži formalizam ne znači ništa nekome ko ne zna šta je formalizam. S druge strane, Nedeljkov opis sopstvenih gledišta na matematiku već je mnogo sadržajniji — te ću se i ja potruditi da opišem svoje gledište na matematiku, a Nedeljko (ili ko već hoće) neka to onda ukalupljuje u ponuđene obrasce.
Ono što bih izdvojio kod matematike naspram ostalih nauka jeste činjenica da je jednom dokazana stvar
dokazana i tačka, nema više preispitivanja toga. Dokaz je, naravno, izveden pod određenim sistemom aksioma, i možda pod nekim drugim sistemom aksioma taj dokaz više ne bi funkcionisao — ali to nije bitno, jer se za svaku teoremu zna pod kojim je sistemom aksioma ona izvedena, i ta veza ne može se pokvariti nikada. (Čak i ako se nekada ispostavi da je, recimo, ZFC sistem protivrečan — spoznaja protivrečnosti sistema opet neće narušiti tačnost određene teoreme u tom sistemu.) Kad jedan matematičar objavi neku teoremu, svaki matematičar (ukoliko ima dovoljno vremena i znanja iz dotične oblasti) može ispratiti ceo lanac izvođenja od samih aksioma pa do dotične teoreme i tako se i lično uveriti da teorema važi. To što je objavljeno ujedno je i sve što će ikad ikome biti potrebno u vezi s izvođenjem dotične teoreme; ne može naknadno iskrsnuti neka greška u vidu „nismo dovoljno dobro gurnuli onaj kabl pa nam zato rezultati nisu ispali baš kako treba“. (Naravno, može se desiti da postoji greška u samom dokazu — ali onda je i taj pogrešan korak objavljen svima pred nosom, i svako ga može uočiti i reagovati; dok u slučaju s pogrešno gurnutim kablom niko ne može otići na lice mesta da proverava je l' kabl dobro gurnut.)
Da napravim paralelu između ovoga gore i fizike. (Fizika je tu ilustracije radi, argument će slično funkcionisati i praktično bilo s kojom drugom naukom na mestu fizike. No, fizika i matematika često se porede, već su i na ovoj temi pravljena poređenja, pa je verovatno fizika najprikladnija za komparaciju. Pri tome, doduše, priznajem da ja baš i nisam ljubitelj fizike, ali recimo da taman iz te perspektive mogu da navedem šta mi se kod fizike ne sviđa. Nadam se jedino da ovo neće biti baš prevelik govor mržnje.
) Fizičari bi voleli da im polazni skup aksioma odgovara realnom svetu, ali problem je u tome što aksiome realnog sveta nisu baš dostupne, pa posežu za
pretpostavkama kako funkcioniše ovo ili ono. Te pretpostavke onda rade posao jedno vreme, dok se ne ispostavi da ipak postoji nešto što nije uzeto u obzir, te da prvobitna pretpostavka ne valja, aj'mo Jovo nanovo. Možda će se, doduše, tada reći da i prvobitna teorija aproksimativno važi pod određenim okolnostima (eto, Nedeljko je naveo primer Njutnove mehanike), ali meni se nikako ne dopada da teorija u koju su se do juče svi zaklinjali preko noći može postati „aproksimativna“ i „pod određenim okolnostima“. A može se desiti i da teorija padne kao kruška, uz veliki tresak, i da ni mrvica od nje ne može da se spase (recimo, etar). I naravno, sve ovo nije odlika nekih prošlih vremena, pa da kažemo da je bilo potresa dok se fizika nije malo stabilizovala; jest vraga, evo vrlo skoro su ljudi bili praktično spremni da prihvate da ipak postoji veća brzina od brzine svetlosti — ono kao „pa šta, malo smo se zaje*ali, fizika je to, takve stvari se maltene očekuju“.
Čemu sav ovaj govor mržnje (dobro, možda i jeste na kraju ispalo malo oštrije nego što sam mislio da će biti kad sam počinjao da ga pišem
) na temi o filozofskim pravcima u
matematici? Zato da slikovito prikažem kakvih stvari u matematici
nema, i što mene lično (kao matematičara) čini vrlo srećnim. Naravno, postoje i u matematici pretpostavke, takozvane
hipoteze, ali kada se nešto dokazuje pod određenom hipotezom, tako je naglašeno tu negde u prvoj rečenici apstrakta („Pod pretpostavkom da važi ta-i-ta hipoteza dokazaćemo da...“, ili „Pod pretpostavkom da ne važi ta-i-ta hipoteza dokazaćemo da...“). A baš me zanima koliko često se u fizici vidi rad koji počinje sa „Pod pretpostavkom da važi teorija relativiteta...“ ili, još bolje, „Pod pretpostavkom da
ne važi teorija relativiteta...“ (a to
jeste pretpostavka). No, da se razumemo na kraju, ja jesam svestan činjenice da ne može ni biti drugačije. Ističem da mi takav način razmišljanja nije nimalo blizak te se ja prosto ne bavim fizikom već matematikom, a oni koji u ovakvom načinu razmišljanja ne vide ništa sporno bave se fizikom, i obema stranama je lepo. Štaviše, mi matematičari (i ostatak čovečanstva) profitiramo od svih tehnoloških čuda kojih ne bi bilo bez fizike (nijednog momenta nisam sporio doprinos fizike čovečanstvu), a i fizičari od nas profitiraju koristeći matematičke alate koje im u amanet ostavljaju, je li, matematičari (pri čemu fizičari po pravilu osakate te alate, kao u onom vicu sa vozom i toaletom
; šalim se). No, prosto, način razmišljanja je suštinski drugačiji.
Sad bih se osvrnuo na jedan aspekat matematike koji se često, s jedne strane, ističe kao bitna odlika matematike, a s druge strane se čuje upravo suprotno, da matematika pati od nedostatka toga. Taj aspekat je — primena. Da li je matematika najprimenljivija nauka (kako tvrde najžešći zagovornici prve struje), ili je pak matematika teško teoretisanje od kog niko nikad nikakve koristi neće imati (kako tvrdi druga struja)? Moj stav je: baš me briga, neka predstavnici obe struje misle šta god hoće, njihova stvar. Jedina primena matematike koja mene zanima je to što mi omogućava da za život zarađujem od onoga što svakako volim da radim (a čime mislim da se ne može pohvaliti baš prevelik broj ljudi). Štaviše, grane matematike u kojima je akcenat na primeni meni uopšte nisu privlačne, jer imam utisak da upravo taj imperativ primene predstavlja drastično (a pritom sasvim bespotrebno) sputavanje matematičara u svome poslu (dakle, čovek neće izučavati sve što bi se moglo izučavati u vezi s određenom temom, nego se ograničava — potpuno veštački — isključivo na ono što ima neku interpretaciju u realnom svetu). No dobro, to je već stvar ukusa, razumem da se različitim ljudima sviđaju različite stvari. Ali evo jedne situacije koja ima veze s ovom temom, a koju ne mogu da razumem. Pre nekoliko godina držao sam jednog semestra vežbe iz kombinatorne geometrije. I došla jednom jedna studentkinja na konsultacije, razmatramo nas dvoje pitanja koja je imala, tek će ona odjednom: „A ima li ovo neku primenu?“ I ja je, između ostalog, pitam zašto joj je to bitno. Kaže ona: „Evo, na primer, diferencijalne jednačine, meni je to sve uvek bilo bez veze, a onda mi je dečko, koji studira Fakultet tehničkih nauka, pokazao da se to koristi baš na mnogo mesta, i sad mi se diferencijalne jednačine baš sviđaju!“ To mi nikako ne ide u glavu. Rekao sam gore da mi je jasno kad neko odabere da se bavi nekom primenljivom oblašću zbog primene — ali ne mogu da shvatim da razlika između „sviđati se“ i „ne sviđati se“ počiva isključivo na tome da li ti je dečko pokazao gde se to sve primenjuje! Kako saznanje gde se nešto primenjuje može uticati na
estetsku vrednost toga?! No, uglavnom, ako neko baš navre da priča sa mnom o primeni, onda volim da pomenem nekoliko primera gde su određeni matematički pojmovi u početku bili teško teoretisanje, a posle nekog vremena (koje se može meriti i vekovima!) baš to bude od velike važnosti čovečanstvu. Da li je Kardano, kada je uveo kompleksne brojeve u 16. veku, imao u vidu da će se oni koristiti u današnjim strujomerima? Pa ne, morao je sačekati da neko izmisli struju.
Geometrija Lobačevskog u svoje vreme bila je potpuno apstraktan koncept koji je praktično vrištao da je tu sve veštački zasnovano samo da bi se porušio euklidski postulat paralelnosti (stvarno je to bila poenta!) — pa ko bi rekao da će se jedan vek kasnije pojaviti Ajnštajn sa svojom teorijom (već smo je i pominjali u ovoj poruci, mada u drugom kontekstu
), po kojoj naš svet funkcioniše upravo po zakonima hiperboličke geometrije! Pa i ta kombinatorna geometrija (kad pomenuh ovu studentkinju s konsultacija), evo recimo popločavanje, to stvarno deluje kao zabava za decu bez ikakve koristi. Sedamdesetih godina prošlog veka tamo neki Penrouz izmislio tamo nekakve pločice i ređao ih jednu pored druge u ravni, e na šta ljudi sve gube vreme. I onda koju deceniju kasnije naučnici otkriše kvazikristale (nešto za šta se u vreme Penrouzovog rada nije ni pretpostavljalo da postoji!) čiji slojevi imaju istu strukturu simetrija kao i Penrouzovo popločavanje. Prema tome, ako je neko i 100% siguran da se određena oblast matematike ne može primeniti nigde u realnom svetu — trebalo bi ipak sačekati nekoliko vekova pre nego što se kaže konačna reč. A drugačiji pristup — da prvo sačekamo da se ukaže potreba u realnom svetu pa da onda oformljavamo matematički aparat — bio bi veoma pogrešan, za šta je vrlo lepa ilustracija ona Nedeljkova priča o televizoru.
Toliko od mene, nadam se da nisam previše odužio.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
Filozofski pravci u matematici
