Nekoliko sam puta pročitao sve postove, ali i gubio koncentraciju, problem je zbilja glavoloman
Sve u svemu, odlučio sam krenuti sam ispočetka. Svaku rečenicu pretočiti u matematički jezik. Programiranjem "deriviranog" zaključka dobio sam i druga rješenja te je tako moj postupak zaključivanja došao u pitanje. Problemu sam pristupio kao i gdin Badzevic u prethodnim postovima. Želio bih da me netko prosvijetli i kaže mi gdje u svom zaključivanju griješim jer osim rješenja 4,13 dobivam i druga, al' o tom potom.
Gospodin Proizvod kaže: Ja ne znam koji su brojevi.
Gospodin Suma kaže: Ni ja, ali sam već znao da ti ne znaš.
Gospodin Proizvod kaže: Aha, ok, sad znam koji su.
Gospodin Suma kaže: Sad znam i ja.
1.) Ja ne znam koji su to brojevi
Zaključujemo da oba broja nisu prosta. To znači i da 2p nije oblik umnoška. (p - prost broj) Jedan broj dakle nužno mora biti složen.
2.) Ni ja, ali sam već znao da ti znaš.
To znači da gospodin Suma iz sume može zaključiti da u nijednoj kombinaciji dva pribrojnika - oba nisu prosta. Goldbachova hipoteza kaže da se svaki paran broj veći od 2 može napisati kao suma dva prosta broja. Tvrdnja je sigurno dokazana za prvih milijardu (i više) brojeva pa sigurno vrijedi i za naš mali skup do 400 (200 + 200, maksimalna suma). Ako je Gospodin Suma zaključio da oba pribrojnika sigurno nisu prosta, to povlači da suma nikako ne može biti parna. Dakle suma je neparna. Štoviše, iz izjave 1 smo izveli da rješenje ne može biti (2,p), pa stoga neparne sume oblika 2+p ispadaju iz igre. Ono što je bitno u ovoj izjavi jest da je gospodin suma svojom izjavom konstatirao da je suma neparna, odnosno
jedan je broj paran, a drugi neparan. Upravo to je shvatio i gospodin Proizvod. Da jedan faktor mora biti paran, a drugi neparan.
3.) Aha, ok, sad znam koji su.
Činjenica da je jedan broj paran, a drugi neparan umnošku je osigurala da sa 100% sigurnosti može reći da zna koji su to brojevi. Umnožak mora biti oblika (2a) * (b), gdje je za b nužno da je neparan. Pogledajmo zasad broj a, trenutno nam nije bitno(a ni poznato) je li on paran ili neparan. No napisat ćemo ga u malo drugačijem obliku -> a = 2^n * c gdje je c neparan, a n je cijeli broj, veći ili jednak nuli. U tom obliku, primjetite, nismo nimalo izgubili općenitost. Naš umnožak je sada oblika U=(2^n * c) * (b). c,b - neparni
Iz logičnog zaključka da je jedan broj paran, a drugi neparan i činjenice da je taj podatak bio dovoljan gospodinu Umnošku da razluči paran i neparan faktor dolazimo do sljedećeg zaključka, koji ću objasniti. Umnožak je oblika:
U= (2^n) * (p) gdje je p prost broj.
Dokaz kontradikcijom.
Vratimo se na gornji oblik: U=(2^n * c) * (b). c,b - neparni
Pretpostavimo da je d složen i da se može prikazan kao x*y. x i y su neparni(jer je b neparan) te mogu i ne moraju bit prosti, bez gubitka općenitosti i dalje
.
Dakle d=x*y, umnožak je U=(2^n * c) * (x * y)
Ovo se može faktoriziranjem na paran i neparan faktor rastaviti sigurno na:
1. (2^n *c) * (x*y)
2. (2^n *c*x) * (y)
3. (2^n *c*y) * (x)
Kako rastav na parni i neparni faktor ako je b složen NIJE jednoznačan, tada gospodin Umnožak ne može zaključiti koji su parni i neparni faktor početni traženi brojevi. Iz pretpostavke da je b složen dolazimo do kontradikcije, stoga zaključujemo da je b nužno prost(ili broj 1). Stoga ćemo b označiti sa p (prost broj, ili broj 1) i naš umnožak napisati kao
U=(2^n * c) * (p)
E sad nas zanima famozni c. Napravit ćemo istu stvar, pretpostavit da je složen i napisat ga u obliku c=xy. x i y su neparni jer je c neparan.
Umnožak je tada oblika U= (2^n* x * y) * (p)
Ovo se može faktoriziranjem na paran i neparan faktor rastaviti sigurno na:
1. (2^n * xy) * (p)
2. (2^n *x) * (p*y)
3. (2^n *y) * (p*x)
Opet vidimo da rastav na parni i neparni faktor NIJE jednoznačan. Dobivamo kontradikciju iz pretpostavke da je c složen, pa zaključujemo da je c prost ili da je broj 1. Označimo c=q.
Sada je naš umnožak oblika (2^x * p) * (q) ,gdje su p i q prosti brojevi ili 1.
I konačno primjetimo rastav ovog umnoška na faktore:
1. U=(2^x * p) * (q)
2. U=(2^x) * (pq)
On nije jednoznačan sve dok su p i q oba prosti brojevi(osim 2) već postaje jednoznačan onda i samo onda kada je jedan od p ili q jednak 1. Nama je svejedno koji će od njih biti 1, no na kraju krajeva zaključujemo da je umnožak oblika:
U= (2^n) * (p) [ne može biti (2^n * p) * 1 jer 1 nije rješenje]
I to je to, rješenje su brojevi R1=2^n (n>1 jer 2p nije rješenje, iz prve tvrdnje), R2=p (prost broj).
Dakle da rezimiram sve gore napisano. Gospodin Umnožak je iz činjenice da je jedan broj paran, a drugi neparan jednoznačno mogao iz umnoška zaključiti rješenja(2 faktora) ako i samo ako je umnožak oblika U= (2^n) * (p).
To shvaća i gospodin Suma. On shvaća da je suma oblika (2^n) + (p).
4.Sad znam i ja.
Suma je shvatio da je jedno rješenja 2^n, a drugo p - prost broj, te da je suma S=2^n + p. Ono što sada njemu preostaje, je provjeriti sve kombinacije zbrojeva tog oblika koji su jednaki njegovoj sumi. Maksimalno 7 provjera, za n=2 do 7 jer 2^8=256 što premašuje opseg rješenja. Da bi gospodin Suma mogao sigurno zaključiti koja su to dva broja, prikaz sume oblika S=2^n + p MORA biti JEDNOZNAČAN. Samo za jedan n i samo za jedan p mora vrijediti jednakost. Ako naime vrijedi za dva para brojeva, on iz toga ne može zaključiti koji je par točan.
Cijeli problem ovog zadatka se svodi na to da nađemo sumu koja je neparan broj i nije oblika p + 2, te je prikaz oblika S=2^n + p jednoznačan! Iz sume lako naknadno zaključimo koji su to brojevi.
Ovo je mnogo lakše isprogramirati i upravo sam to i napravio. No onda šok. Uz rješenje 17(suma) koje je bilo i očekivano, pojavila su se i druga rješenja. Npr. 29 - iz njega izvlačim jedinstveno rješenje 16 + 13. I zaista, ovo rješenje po mojoj logici ispunjava sve uvjete zadatka. Dobio sam još sume 41,53,59.... Zašto? Gdje je pogreška u mom zaključivanju i zašto par (13,16) ne može biti rješenje?
P.S. Zagrade gore označavaju R1 i R2, rješenja.
Re: Gospodin Proizvod i Gospodin Suma
Registrovani: 0 ( 0 )
