[es] - Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
89.216.32.*

+2801 Profil

Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{17.01.2011. u 12:49 - pre 173 meseci}

Zadatak glasi ovako:

Citat:

Neka su

realni brojevi. Razmotrimo jednačinu po

.

Koristeći brojeve

, sastaviti kvadratnu jednačinu po

čiji su korieni isti kao od polazne jednačine. Uporediti jednačine po

E, sad, ako su rešenja jednačine

recimo

, onda je polazna jednačina ekvivalentna sa

, pa je

. No, poslednja relacija je zapravo ekvivalentna sa

, što je ekvivalentno polaznoj jednačini akko je

, odnosno akko je

. Dakle, ako je

, onda je polazna jednačina ekvivalentna jednačini

, a inače nema rešenja, tako da drugi deo zadatka nema smisla.

Molio bih druge da iznesu neki komentar o ovome.

_{[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 17.01.2011. u 15:37 GMT+1]}

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Prikačeni fajlovi

eng.pdf - 43.37k

Odgovor na temu

petarm
Petar Mali
Zrenjanin

Član broj: 20220
Poruke: 1879
*.mediaworksit.net.

+33 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{17.01.2011. u 13:19 - pre 173 meseci}

Meni se cini kao da je ovo zadatak pod a) i b). Ti si ga uradio pod a), a pod b) treba da uporedis jednacine

Inace u tekstu zad. ti nedostaje

http://www.svijetfizike.com/

Odgovor na temu

Sini82

Član broj: 234605
Poruke: 479
62.101.141.*

Jabber: Sini82@elitesecurity.org

+33 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{17.01.2011. u 15:07 - pre 173 meseci}

Vijetove formule:

Kvadriranjem dobijamo:

Posmatrajmo jednačinu po cos(2x):

Sređivanjem dobijamo:

Vijetove formule:

Odatle lako dobijemo p i q.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
89.216.32.*

+2801 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{17.01.2011. u 15:51 - pre 173 meseci}

Aha, samo što je polazna jednačina ekvivalentna sa

, a nova sa

, pa nisu ekvivalentne.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
89.216.32.*

+2801 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{17.01.2011. u 15:54 - pre 173 meseci}

Uradi to isto na datom primeru

. Dobićeš jednačinu

, sa potpuno istim koeficijentima, ali različitim skupom rešenja.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.

+13 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{17.01.2011. u 22:30 - pre 173 meseci}

Potpuno se slažem sa Nedeljkovim rešenjem. S tim što bi možda trebalo ispitati i slučajeve kada t nije u intervalu (-1,1), ali to se svodi na isto, ispada da je b=0. Ipak to ne mora da znači da je drugi deo zadatka pogrešan što se uzima b=-1, prosto sledi da slučaj nemoguć, mislim da je funkcija tog dela zadatka da pomalo zbuni rešavača.

Odgovor na temu

Sini82

Član broj: 234605
Poruke: 479
62.101.141.*

Jabber: Sini82@elitesecurity.org

+33 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 08:41 - pre 173 meseci}

Formirana jednačina mora da ima ista rješenja kao polazna, što ne znači da mora da ima isti skup rješenja. Nigdje u tekstu zadatka nije rečeno da jednačine moraju biti ekvivalentne.

Tako sam ja shvatio. Nedeljko je u pravu ako tražimo da polazna i formirana jednačina imaju iste skupove rješenja.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
89.216.32.*

+2801 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 08:55 - pre 173 meseci}

A u čemu je razlika između "imati ista rešenja" i "imati iste skupove rešenja"? Koliko se ja razumem u matematiku, to je isto.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Sini82

Član broj: 234605
Poruke: 479
62.101.141.*

Jabber: Sini82@elitesecurity.org

+33 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 11:23 - pre 173 meseci}

E pa vidiš, jednačina

ima ista ona rješenja koja ima i jednačina

, ali te dve jednačine nemaju iste skupove rješenja.

Odgovor na temu

Sini82

Član broj: 234605
Poruke: 479
62.101.141.*

Jabber: Sini82@elitesecurity.org

+33 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 12:19 - pre 173 meseci}

Našao sam zadatke i rješenja u "The IMO Compendium" naših autora (Dušan Đukic, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović).

Rješenja su ista kao ona koja sam ja dobio, provjerio sam;

;

.

_{Bojan Bašić: uklonjen link ka piratskom sadržaju.}

_{[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 18.01.2011. u 14:42 GMT+1]}

Odgovor na temu

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.

+13 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 13:13 - pre 173 meseci}

Citat:

Nedeljko: A u čemu je razlika između "imati ista rešenja" i "imati iste skupove rešenja"? Koliko se ja razumem u matematiku, to je isto.

Ukoliko bi zadatak bio ovo drugo, tj. da se traži da skupovi rešenja budu isti, pitam se da li bi se u rešenje računalo da ako su oba skupa prazna, tj. da obe jednačine nemaju rešenje, da su im skupovi rešenja ekvivalentni?

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
89.216.32.*

+2801 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 13:31 - pre 173 meseci}

Citat:

Sini82: E pa vidiš, jednačina

ima ista ona rješenja koja ima i jednačina

, ali te dve jednačine nemaju iste skupove rješenja.

Pa, skup rešenja je u oba slučaja

ili ako ti se više sviđa

Citat:

Fermion: Ukoliko bi zadatak bio ovo drugo, tj. da se traži da skupovi rešenja budu isti, pitam se da li bi se u rešenje računalo da ako su oba skupa prazna, tj. da obe jednačine nemaju rešenje, da su im skupovi rešenja ekvivalentni?

Da, ekvivalentne znači da je nešto rešenje jedne akko je rešenje i druge, tj. da imaju isti skup rešenja.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
89.216.32.*

+2801 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 13:32 - pre 173 meseci}

Citat:

Sini82: Našao sam zadatke i rješenja u "The IMO Compendium" naših autora (Dušan Đukic, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović).

Rješenja su ista kao ona koja sam ja dobio, provjerio sam;

;

Još samo da su dobra, tj. da su rešenja.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Sini82

Član broj: 234605
Poruke: 479
62.101.141.*

Jabber: Sini82@elitesecurity.org

+33 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 13:47 - pre 173 meseci}

^
Netačno. Skup rješenja jedne jednačine je {1, -1} a druge {1, -1, i, -i}, tako da te dvije jednačine nisu ekvivalentne.

^
Nisi dobro preveo originalan tekst ili ga ne tumačiš kako treba ili smo svi mi u krivu a ti si u pravu. Ako jesi u pravu, ovo nije zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade nego sa neke pismene školske zadaće.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
89.216.32.*

+2801 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 14:23 - pre 173 meseci}

Mislio sam da tražiš realna rešenja. Ne znam kako drugačije da protumačim ovo

Citat:

Sini82: E pa vidiš, jednačina

ima ista ona rješenja koja ima i jednačina

Što se prevoda tiče, okačio sam engleski original u prilogu prve poruke.

Ako se tražilo da svako rešenje polazne jednačine bude rešenje formirane jednačine, ali ne i obrnuto, onda je

trivijalno rešenje. Doduše, ona nije kvadratna, ali ni u rešenju koje si postavio ne mora biti

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.

+13 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 14:50 - pre 173 meseci}

Slažem se da postoji nejasnoća, tj. nije precizirano šta znači da jednačine imaju dva ista rešenja.

1)Rešenja prve jednačine su ujedno rešenja druge (skup rešenja druge jednačine sadrži skup rešenja prve)
2)Sva rešenja prve jednačine su rešenja druge jednačine i sva rešenja druge su rešenja prve (skupovi rešenja obe jednačine su jednaki (ekvivalentni)).

Slučajevi 1 i 2 su različiti, pa su i rešenja različita, pa je to stvar interpretacije.

Zavisno od tumačenja zadatka imamo razna rešenja. Intuitivno, bliži sam drugom tumačenju, s tim što nigde nisam nailazio na preciznu definiciju toga šta znači to da su rešenja dve jednačine ista.

Citat:

Nedeljko: Da, ekvivalentne znači da je nešto rešenje jedne akko je rešenje i druge, tj. da imaju isti skup rešenja.

Ja sam pitao za nešto drugo. U slučaju da obe jednačine nemaju (realnih) rešenja skup rešenja za obe je prazan skup. To dalje znači da su im skupovi rešenja ekvivalentni. Vaše rešenje ne razmatra tu mogućnost.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
89.216.32.*

+2801 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 14:53 - pre 173 meseci}

Da, jednačine

nad skupom realnih brojeva kao domenom su ekvivalentne. Taj slučaj nisam razmatrao, a poenta je da zadatak nije dobro postavljen.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
89.216.32.*

+2801 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 15:18 - pre 173 meseci}

Citat:

Fermion: Slažem se da postoji nejasnoća, tj. nije precizirano šta znači da jednačine imaju dva ista rešenja.

1)Rešenja prve jednačine su ujedno rešenja druge (skup rešenja druge jednačine sadrži skup rešenja prve)
2)Sva rešenja prve jednačine su rešenja druge jednačine i sva rešenja druge su rešenja prve (skupovi rešenja obe jednačine su jednaki (ekvivalentni)).

Ne znam šts si hteo da kažeš sa onim "dva" koje sam zacrnio u citatu, ali zna se šta znači da jednačine imaju ista rešenja. To je ovo pod 2). Ovo pod 1) bi se izrazilo rečima "iz prve jednačine sledi druga".

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.

+13 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 15:24 - pre 173 meseci}

Nije dva nego sva, štamparska greka, d je pored s na tastaturi, a kucao sam na brzinu

Odgovor na temu

IdeaR
BiH

Član broj: 11048
Poruke: 126
*.PPPoE-6101.sa.bih.net.ba.

+2 Profil

Re: Čudan zadatak sa prve međunarodne matematičke olimpijade (Rumunija 1959)

^{18.01.2011. u 20:58 - pre 173 meseci}

Citat:

Nedeljko: Da, jednačine

nad skupom realnih brojeva kao domenom su ekvivalentne. Taj slučaj nisam razmatrao, a poenta je da zadatak nije dobro postavljen.

Rezon ti je sasvim korektan, zadatak nije dobro (precizno) formulisan.
Čestitam na pažljivom rješavanju i dobrom zapažanju, većina jednostavno preleti preko ovakvih pojedinosti.

Odgovor na temu