[es] - najmanji prirodan broj cija je polovina potpun kvadrat,trecina potpun kub,petina potpun peti stepen

yoMas
Antonnela
student
BiH

Član broj: 276055
Poruke: 12
92.36.253.*

Profil

najmanji prirodan broj cija je polovina potpun kvadrat,trecina potpun kub,petina potpun peti stepen

^{02.01.2011. u 18:16 - pre 174 meseci}

Odrediti najmanji prirodan broj cija je polovina potpun kvadrat, trecina potpun kub i petina potpun peti stepen.

_{[Ovu poruku je menjao yoMas dana 02.01.2011. u 20:10 GMT+1]}

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
*.ptt.rs.

+2801 Profil

Re: Odrediti najmanji prirodan broj ?????????? ............... (matematika)

^{02.01.2011. u 19:18 - pre 174 meseci}

Dakle, taj broj se može prikazati u obliku

, gde

nije deljivo ni sa 2 ni sa 3 ni sa 5.

Pošto broj mora biti deljiv sa 2, 3 i 5, imamo da je

.

Iz prvog uslova sledi da

i da je

potpun kvadrat.

Iz drugog uslova sledi da

i da je

potpun kub.

Iz trećeg uslova sledi da

i da je

potpun peti stepen.

Pošto tražimo najmanji takav broj, uzimamo da je

.

Na način objašnjen u ovoj temi, dobija se da se najmanje rešenje dobija za

.

Dakle, rešenje je

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

yoMas
Antonnela
student
BiH

Član broj: 276055
Poruke: 12
92.36.253.*

Profil

Re: najmanji prirodan broj cija je polovina potpun kvadrat,trecina potpun kub,petina potpun peti stepen

^{02.01.2011. u 19:35 - pre 174 meseci}

Slicno sam uradila kao i vi :

Neka nam x bude najmanji broj.
Pretpostavit cemo da su 2, 3 i 5 su svi glavni. Tada je najmanji mogući broj x i on samo moze imati 2, 3 i 5 kao njezin jedine proste faktore.
Neka je x= 2^a 3^b 5^c

Stanje 1. x je polovica potpunog kvadrata 2x= 2^a+1 3^b 5^c .. To zahtijeva 2|a+1,b,c

Stanje 2. x je jedna trećina od potpunog kuba 3x= 2^a3^b+1 5^c . To zahtijeva 3|a,b+1,c

Stanje 3. x je jedna petina petine stepena 5x= 2^a 3^b 5^c+1 . To zahtijeva 5|a,b,c+1..

Mi ćemo ispitati svaku varijablu (a,b i c) jedan po jedan.

Za a, imamo 2|a+1 što znači je neparan. Onda 3,5|a znači da 15|a. Iz toga slijedi da je. Min(a)=15

Za b, imamo 2,5|b a to podrazumijeva da 10|b.
3|b+1 znači b=2(mod 3) .
minimum b koji zadovoljava taj uvjet je 20.

Za c, imamo 2,3|c a to podrazumijeva da 6|c.
5|c+1.
Znači c=4(mod 5)..
minimum c koji zadovoljava taj uvjet je 24.

Stoga željeni broj je 2^a3^b5^c . sto je i trebalo dokazati.

Odgovor na temu