Hvala. Svaka čast na kratkom i efektnom dokazu.
U međuvremenu sam i ja uspeo na sličan način da dokažem ovu nejednakost, ali dužim putem.
Pođimo od pretpostavke da je ispunjena nejednakost:
Pošto je a>0, b>0 i c>0, važi i
, kao i
ako polaznu nejednakost pomnožimo sa
ne menja se znak kod nejednakosti pa važi:
Ovo je ekvivalentno sa:
Dokažimo da je:
Nejednakost pomnožimo sa 2.
Odatle:
Zadnja nejednakost je jasno ispunjena, pošto je zbir kvadrata veći ili jednak 0.
Ako se nejednakost
iskoristi u
dobija se:
To je ekvivalentno sa:
Treba dokazati da je:
Slično kao i
dokazuje se:
Preostaje da se dokaže da je:
Kada se ovo pomnoži sa dva, dobijena nejednakost se transformiše u obilk:
Ova nejednakost je zadovoljena za svako a, b, c>0, pa je polazna pretpostavka tačna, tj. važi:
Jedakost važi ako i samo ako:
Prema tome jednakost se dobija ako i samo ako
.
Pošto su a, b, c istoga znaka ovo je ekvivalentno sa
.
Zanimljiva nejednakost
