[es] - Nejednakosti-zadatak

3FO

Član broj: 336852
Poruke: 1
*.dynamic.sbb.rs.

Profil

^{05.06.2017. u 13:27 - pre 96 meseci}

Ako moze pomoc oko zadatka, probao sam preko brojnih sredina ali ne dobijam trazeno.
Neka su a,b,c pozitivni realni brojevi,takvi da je a+b+c>= abc. Dokazati da je a^2+b^2+c^2>= abc√3.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
*.ptt.rs.

+2801 Profil

Re: Nejednakosti-zadatak

^{10.06.2017. u 15:13 - pre 95 meseci}

Prvo bih podelio prvu nejednakost sa

i uveo bih smenu

, onda treba iz

dokazati

(*)

,

odnosno

.

Neka je

.

Važi

(**)

.

Iz (*) treba dokazati

.

Obzirom na (*), za to je dovoljno dokazati

.

Ovo je problem uslovnog ekstremuma koji se lako rešava.

Za stacionarne tačke mora postojati vrednost parametra

tako da važi

,

Odizumanjem druge jednačine pomnožene sa

od prve jednačine pomnožene sa

dobijamo

.

Iz

sledi

, što protivreči jednakosti (**). Dakle,

, pa je

,

Ako je

, onda je

. Obzirom da razmatramo problem samo za nenegativne vrednosti promenljivih, odatle sledi da je

. Dakle, trojka

ima nenula element na najviše jednom mestu, odnosno zbog jednakosti (**) trojka

pripada skupu

.

Dakle, van te tri trojke za stacionarnu tačku mora da važi

, odnosno, zbog (**) ta trojka mora biti

.

Računanjem vrednosti funkcije

u svim četirima kritičnim tačkama dobijamo da su ekstremne vrednosti pri uslovu (**) 0 i 1, što dokazuje tvrđenje.

_{[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 10.06.2017. u 22:25 GMT+1]}

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2056
87.116.175.*

+391 Profil

Re: Nejednakosti-zadatak

^{15.06.2017. u 23:43 - pre 95 meseci}

Zadatak je iz predmeta Elementarna matematika.
Ne verujem da je dozvoljeno korišćenje uslovnih ekstrema.

Težak jeste.
Mislim da je nerešiv bez izvoda.

Lako se dokaže, preko nejednakosti sredina, da su tvrđenje i dati uslov ekvivalentni sa:

To jeste tačno, jer dati uslov daje garanciju

Pitanje je: "do kada je zbir veći od od proizvoda".
Ako su dva broja, onda do prvog korena(2).
Ako su tri broja, a ovde jesu tri broja, onda do drugog korena(3).
To zna svaki igrač kladionice, iole bolji od Konjislava.

Ali, to treba dokazati bez izvoda.

Ako bi bila 4 broja, onda do trećeg korena(4).
Ako bi bilo 5 brojeva, onda do četvrtog korena(5),...itd...
Ali da ne generalizujemo kada, bez izvoda, nema dokaza za ni za n jednako 3.

_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 16.06.2017. u 13:48 GMT+1]}

Odgovor na temu

Sonec

Član broj: 284879
Poruke: 892

+332 Profil

Re: Nejednakosti-zadatak

^{17.06.2017. u 06:29 - pre 95 meseci}

Iz Kosi-Svarcove nejednakosti (a moze i direktno) i uslova u zadatku nalazimo

, dok nam aritmeticko-geometrijska nejednakost daje

. Ako prvu nejednakost podignemo na stepen

, a drugu na

, i potom ih pomnozimo, dobicemo trazenu nejednakost.

Pozdrav

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2056
87.116.175.*

+391 Profil

Re: Nejednakosti-zadatak

^{17.06.2017. u 22:04 - pre 95 meseci}

Bravo Sonec.
Može i bez izvoda.

Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2056
87.116.175.*

+391 Profil

Re: Nejednakosti-zadatak

^{17.06.2017. u 22:10 - pre 95 meseci}

Bravo Sonec.
Može i bez izvoda.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
*.ptt.rs.

+2801 Profil

Re: Nejednakosti-zadatak

^{20.06.2017. u 06:13 - pre 95 meseci}

@miki069

Sve što može sa izvodima, može i bez njih, budući da je izvod izvedni, a ne osnovni pojam. Naravno, transformacijom dokaza eliminacijom definicija se ne menja suština dokaza.

@Sonec

Bravo za elegantno rešenje.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu