za svako
.
Neka je
i
.
kad god je sve definisano, odnosno kada je
i
. Obzirom da iz
sledi
, možemo zaključiti da za ma koje
za koje je
važi
.
Odavde sledi da je
jer se brojevi sa istim tangensom razlikuju za celobrojan umnožak broja
.
Posmatraj funkciju
.
Ona je definisana u celoj ravni van hiperbole
i neprekidna je, a vrednosti su joj u diskretnom skupu celobrojnih umnožaka broja
. Pošto je neprekidna, a vrednosti su joj u diskretnom skupu, ona mora biti konstantna na svakoj komponenti povezanosti domena. Ima ih tri:
,
,
.
Na prvoj vrednost funkcije možemo odrediti računajući
, na drugoj računajući
i na trećoj računajući
.
Ostao je slučaj kada je
, odnosno
. Ako je
, onda je
. Jer je za
ispunjeno
i
,
,
.
Odavde sledi da neprekidna funkcija
definisana na
ima vrednosti u diskretnom skupu. I ona je stoga konstantna na svakoj od dve komponente povezanosti na kojima joj vrednost možemo odrediti računanjem na primer
i
.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.