Ako dokažemo da je među brojevima
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b032c66aa68d26c45d50420464a1285d.png)
,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a91498f3972c9db0dbabba9ffc66a609.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/47e5134c1717c461378d4824f14c362b.png)
koji zadovoljavaju zadati uslov
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0501c4cd5a4772e32cc4cabc1cbbbf62.png)
jedan od njih uvek deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/86e6bf33979ff1495ba5da83f9fc2eb2.png)
, jedan uvek deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/4d0f66c4652d617d18bd89924b3d0c00.png)
, a jedan uvek deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/283fcdbca32c046cc7f81709843f498f.png)
, dokazali smo da je njihov proizvod uvek deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e99eb9c4d8552b19abe517e1fe4952d6.png)
, tj sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/12f11bae485db45028c16b9546e9f7d9.png)
.
Možeš se poslužiti osobinama kvadrata prirodnog broja, po kojima je:
(Sve ovo se takođe može dokazati; ako bude potrebno, napisaću i taj dokaz.)
Sada posmatraš zadati izraz
Dokaz da je jedan od brojeva
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b032c66aa68d26c45d50420464a1285d.png)
,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a91498f3972c9db0dbabba9ffc66a609.png)
ili
![](https://static.elitesecurity.org/tex/47e5134c1717c461378d4824f14c362b.png)
deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/86e6bf33979ff1495ba5da83f9fc2eb2.png)
:
Postoje dve mogućnosti: jedna je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e314f6d3a95c2aef6cafc7157378e129.png)
, a druga je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/54bf5c3a8c2dc76e5b8880ac6f5ffa3f.png)
.
U slučaju da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e314f6d3a95c2aef6cafc7157378e129.png)
, samim tim imamo jedan broj (
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b032c66aa68d26c45d50420464a1285d.png)
) koji je deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/86e6bf33979ff1495ba5da83f9fc2eb2.png)
.
U slučaju da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/54bf5c3a8c2dc76e5b8880ac6f5ffa3f.png)
, mora biti
![](https://static.elitesecurity.org/tex/157c5ce9fbc7d59f2e6c2fbd2c98e93c.png)
, jer ako bi bilo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/876eef74e4f684d7e6d25a8786d2af09.png)
, tada bi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d71a4ca88495aecc156a0113de206785.png)
, tj.
![](https://static.elitesecurity.org/tex/784e65b7022b9490cadd13a286d14721.png)
bilo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/4bbdc8723d324032e90cba0c32f5438c.png)
, što je nemoguće.
Ako je kvadrat nekog broja deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/86e6bf33979ff1495ba5da83f9fc2eb2.png)
, onda je i sam taj broj deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/86e6bf33979ff1495ba5da83f9fc2eb2.png)
(i ovo se jednostavno dokazuje).
Na sličan, samo na malo složeniji način, se dokazuje i za deljivost sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/4d0f66c4652d617d18bd89924b3d0c00.png)
i sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/283fcdbca32c046cc7f81709843f498f.png)
. S tim da, ako je kvadrat nekog broja deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/283fcdbca32c046cc7f81709843f498f.png)
, tada je i taj broj deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/283fcdbca32c046cc7f81709843f498f.png)
. Međutim, da bismo dokazali da je neki broj deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/4d0f66c4652d617d18bd89924b3d0c00.png)
, nije dovoljno dokazati da je njegov kvadrat deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/4d0f66c4652d617d18bd89924b3d0c00.png)
(kontraprimer: broj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/36b5e9fc10c880be5588b981b06ebe79.png)
), nego moramo dokazati da je kvadrat tog broja deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/66775faeb91a0a711377f6d93a4f9f0b.png)
. Zbog toga sam gore napisao osobine kvadrata za module
![](https://static.elitesecurity.org/tex/86e6bf33979ff1495ba5da83f9fc2eb2.png)
,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/283fcdbca32c046cc7f81709843f498f.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/66775faeb91a0a711377f6d93a4f9f0b.png)
.
Pokazaću još dokaz za modul
![](https://static.elitesecurity.org/tex/283fcdbca32c046cc7f81709843f498f.png)
, a gotovo identično se radi i za modul
![](https://static.elitesecurity.org/tex/66775faeb91a0a711377f6d93a4f9f0b.png)
.
Postoje tri mogućnosti: jedna je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/93ffaecf18729d4cc7d51c04df23715a.png)
, druga je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5c5511953c0b808174b926fe28e5c155.png)
, a treća je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ec186ea6ab39f146d0bffdb0e0279d09.png)
.
U slučaju da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/93ffaecf18729d4cc7d51c04df23715a.png)
, samim tim imamo jedan broj (
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b032c66aa68d26c45d50420464a1285d.png)
) koji je deljiv sa 5.
U slučaju da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5c5511953c0b808174b926fe28e5c155.png)
, imamo tri podslučaja.
- Prvi je da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/60bde1099c6d9d4af06563bf38bc0c49.png)
, pa opet imamo jedan broj koji je deljiv sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/283fcdbca32c046cc7f81709843f498f.png)
.
- Drugi podslučaj je da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/73317726d5317a63030012a410b3bf5f.png)
, tada bi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/784e65b7022b9490cadd13a286d14721.png)
, koji predstavlja zbir
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0bb38e6da8b0bc2f66c8bc39e964b314.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8d3b716fe7acf594186bdc9a2ecab9a2.png)
, bio
![](https://static.elitesecurity.org/tex/04b9447d1b90fa626cd30586aaef98b8.png)
, što odbacujemo kao nemoguć slučaj.
- Treći podslučaj je da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/062d51e9afd55c13982b8b02a28aba08.png)
, tada bi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/784e65b7022b9490cadd13a286d14721.png)
, koji predstavlja zbir
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0bb38e6da8b0bc2f66c8bc39e964b314.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8d3b716fe7acf594186bdc9a2ecab9a2.png)
, bio
![](https://static.elitesecurity.org/tex/705c26f444337c363714b466295ea36e.png)
, tako da je u ovom slučaju
![](https://static.elitesecurity.org/tex/784e65b7022b9490cadd13a286d14721.png)
deljivo sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/283fcdbca32c046cc7f81709843f498f.png)
.
Identičan je postupak i za slučaj da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ec186ea6ab39f146d0bffdb0e0279d09.png)
.