Dedukcija nije metod prikazivanja, već dokazivanja (zaključivanja) koji se definiše kao onaj koji "ne može da omaši", to jest kod kojeg je izvedeni zaključak nužna posledica navedenih pretpostavki. Ne mora biti zasnovana na formalnim pravilima, a i o tim formalnim pravilima govori nezavisno od toga da li postoje bića koja ih znaju. To nije potrebno ni za kakvu diskusiju o njima.
Kad god se dese i A i B, onda se sigurno desi i A. Štaviše to je tačno bez obzira na našu svest o tome. Možda će neko reći da se time u suštini ništa ne tvrdi, to jest da je to svakako uvek tačno, ili da je posredi samo jezička zavrzlama, ali to je u suštini slučaj sa svim deduktivnim zaključivanjima. Problem je u tome što kod nekih deduktivnih zeključivanja nije lako utvrditi da su deduktivna. E, to je posao matematike.
Matematika se bavi dokazivanjem da su određena zaključivanja deduktivna. Jasno, to se ne može dokazivati "labavijim" metodama od deduktivnih, to jest samo je deduktivan metod dovoljno pouzdan za dokazivanje da je neko tvrđenje deduktivno.
No, ako je neko tvrđenje deduktivno, mi ga možemo dedukovati pozivanjem ne njega samog. To je trivijalan dokaz koji se sastoji od samo jednog koraka. Zaista, svaki korak tog dokaza je deduktivan, to jest dokaz ima deduktivnu snagu. Međutim, tu se odmah postavlja pitanje odakle mi znamo da je on zaista takav. Za to nem je bilo neophodno da znamo da je tvrđenje dato na početku deduktivno, a ako to znamo, onda nam dokaz njegove deduktivnosti nije bio ni potreban, tako da iako je formalno korektan, gubi svaki smisao.
Dakle, kada dokazujemo da je neko tvrđenje deduktivno, u dokazu koristimo neka druga deduktivna zaključivanja za koja već znamo da su deduktivna. Ali, pošto se to mora negde i završiti, neka tvrđenja neće biti dedukovana iz drugih, već prihvaćena bez dokaza kao "očigledna". No, o očiglednosti, kao i o aksiomatskoj metodi sam pisao ranije na ovom forumu.
Kada dva čoveka diskutuju o nečemu, da bi rasprava imala bilo kakvog smisla, moraju poći od stavova oko kojih se slažu, i na tim temeljima graditi diskusiju o onome o čemu se ne slažu. Ukoliko nekome nešto obrazlažete koristeći u argumentaciji stavove koje on ne prihvata, onda za takvog sagovornika ni takva argumentacija nije prihvatljiva. Zato se u dokazivanju, kod neaksiomatskog pristupa zaustavlja na što jednostavnijim stavovima (koji su što većem broju ljudi prihvatljivi), a kod aksiomatskog pristupa se za aksiome bira što manji broj što jednostavnijih tvrđenja.
Ja ne mogu da tvrdim da ne postoje i druge inteligentne vrste (zemaljskog ili vanzemaljskog porekla), koje nemaju svoju matematiku. Deduktivne zakonitosti su univerzalne, i u tom smislu postoji samo jedna matematika, koja je nama samo delimično poznata i koju doživljavamo i izlažemo na nama svojstven način, i ti je jedino po čemu se mogu razlikovati naša i njihova matematika. Druga inteligentna bića mogu znati druge delove matematike od nas i to svoje znanje mogu doživljavati i izlagati na njima svojstven način.
Kriterijum zaustavljanja u procesu dokazivanja kod neaksiomatskog pristupa, kao i kriterijum biranja aksioma je odraz našeg uma i naše intuicije. Inače, vrlo jaka intuicija je bila neophodna za dokazivanje bilo koje dobre matematičke teoreme. Kod automatskog dokazivanja teorema računari u suštini samo rešavaju neke kombinatorne probleme na koje su prethodno svedeni problemi iz neke klase matematičkih problema, a za to svođenje je bila neophodna jaka intuicija. Do doga su došli ljudi. To nisu mogli da urade računari.
Ovo sve što pišem važi samo za savremenu matematiku. Takođe, je ne mogu predvideti šta će matematika bidi za 200 godina. Naravno, da matematika nije bila uvek ovakva i da je postojao proces njenog razvoja koji se stiglo do ovog njenog oblika. To je proces usavršavanja našeg shvatanja matematike koji nije završen. Istinu govoreći, konačan odgovor na pitanje iz naziva teme ne postoji. Ovo sve se odnosi samo na trenutnu sliku matematike.
Matematika najverovatnije jeste nastala najre iz neke potrebe za računom, ali pošto se naše shvatanje matematike razvija, ona nije ostala samo na računu, čak i kada se on shvati u mnogo opštijoj formi. Nekada smo prevazišli okvire računa, koje smo takođe prethodno proširili, ali još uvek nismo prešli granice dedukcije, tako da ti okviri karakterišu današnju matematiku. Proces razvoja bilo koje nauke je praćen stalnim otkrivanjem novih zakonitosti i kasnijim uopštavanjem i objedinjavanjem istih. To nije karakteristično samo za matematiku.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.