Koka ipo za dan snese jaje ipo. U tom slučaju je
broj snesenih jaja = broj koka * broj dana * x
za neko x.
Po postavci zadatka je
1.5 = 1.5 * 1 * x,
pa je
x = 1
Dakle,
broj snesenih jaja = broj koka * broj dana
Prema tome, za tri dana tri koke snesu 3*3=9 jaja.
Zato što bi onda koka za dva dana snela manje jaja nego za jedan dan, odnosno, drugog dana bi snela negativan broj jaja.
Ako su svi vremenski intervali istog trajanja ravnopravni, odnosno u vremenskim intervalima istog trajanja koka snese isti broj jaja i pritom ni u jednom vremenskom intervalu ne može biti snesen negativan broj jaja, onda je to funkcija direktne proporcionalnosti.
Izaberimo neki trenutak kao početni. Ako je broj jaja koji jedna koka snese u vremenskom intervalu , onda se za ma koje u intervalu snese onoliko jaja koliko se snese u intervalima i , koji su disjunkjtni. Pritom se u intervalu snese isto onoliko jaja koliko i u intervalu , pa je
(1) .
Pritom se ni za jedno u intervalu ne može sneti negativan broj jaja, pa je
(2) .
Iz jednačine (1) se indukcijom dokazuje da za svaki prirodan broj i realan broj važi
(3) .
Dokažimo to.
Baza indukcije:
.
Induktivni korak: Induktivna pretpostavka nam je (3).
.
Pritom je drugi prelaz izvršen na osnovu (1), a treći na osnovu induktivne pretpostavke.
Iz (3) sledi da za svaki prirodan broj važi
(4) .
Dokažimo to.
.
Iz (3) i (4) sledi da za ma koje prirodne brojeve i važi
(5) .
Dokažimo to.
.
Iz (5) sledi da za ma koji racionalan broj važi
i posebno za
.
Dokažimo da je funkcija monotono neopadajuća. Neka su i realni brojevi takvi da je . Iz sledi da je . Važi
(6) .
Drugi prelaz sledi iz (1), a treći iz (2).
Iz (6) sledi da je
,
odnosno
.
Dakle, funkcija je monotono neopadajuća. Neka je bilo koji pozitivan realan broj. Za ma koje racionalne brojeve i takve da je važi
,
odnosno
.
Pošto je skup racionalnih brojeva svuda gust u skupu realnih brojeva, postoje nizovi pozitivnih racionalnih brojeva i takvi da prvi teži broju sa leve strane, a drugi sa desne. Iz
sledi
,
odnosno
.
Puštajući u poslednjoj formuli da teži beskonačnosti, zaključujemo da je
,
odnosno
,
odnosno
za .
Pretpostavili smo da se u svim vremenskim intervalima jednakog trajanja snese jednak broj jaja. Neka su i realni brojevi takvi da je . Iz sledi da je . U intervalu se snese isto onoliko jaja, koliko i u intervalu , odnosno .
Dakle, broj snesenih jaja u bilo kom intervalu je srazmeran trajanju tog vremenskog intervala.
[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 09.01.2019. u 22:45 GMT+1]