Proizvod kaze da ne zna od cega je sastavljen, dakle, dva trazena broja nisu OBA prosta (jer kad bi bila, znao bi koja su). Suma kaze da takodje ne zna od cega je sastavljena, ali sto je jos bitnije, kaze da je vec unapred znala da Proizvod ne zna.
Drugim recima, bio joj je dovoljan samo jedan pogled na sebe da utvrdi da Proizvod ne zna svoje sastojke, tj da oba broja nisu prosta. A takav zakljucak je mogla da donese samo ako je neparna. To je zato sto, kad bi bila parna, uvek bi mogla da se sastoji iz zbira dva prosta broja (iako ova hipoteza nije u celosti dokazana, dokazano je da vazi za prvih nekoliko miliona brojeva, a samim tim i za prvih 200). A ako bi se sastojala iz zbira dva prosta broja, ne bi mogla da zakljuci da Proizvod ne zna od cega je sastavljen. Dakle, zakljucujemo da je Suma neparna.
Ali ona ne moze uzimati tek bilo koje neparne brojeve, vec samo one koji se ne mogu zapisati kao zbir dva prosta broja.
Pa koje su to NEPARNE Sume koje se MOGU zapisati kao zbir dva prosta broja? Pa to su upravo one Sume koje se dobijaju kada se sabere broj 2 sa bilo kojim drugim prostim brojem! To je zato sto je 2 jedini parni prost broj. Kada bi oba prosta broja bila razlicita od 2 Suma bi bila parna, ali parne Sume smo vec odstranili iz razmatranja, pa je jedini nacin da Suma koja je neparna moze da se predstavi kao zbir dva prosta broja je taj da se ona sastoji iz 2 i jos nekog prostog broja razlicitog od 2!
Zato iz razmatranja treba izbaciti, pored parnih brojeva, i sve one neparne koji su za 2 veci od nekog prostog broja! Dakle, Suma u svom opstem obliku MORA da izgleda ovako: S=mn+2 (gde su m i n bilo koja dva prosta broja razlicita od 1 i 2, dakle mogu biti i isti).
To znaci da je opsta formula svih proizvoda koje Suma moze da sastavi sledeca: x(S-x)=x(mn+2-x), gde je x>2 (ovaj uslov zato sto, kad bi x bilo 1, Proizvod bi bio mn+1 a Suma mn+2, tj Suma bi bila veca od Proizvoda sto je nemoguce, a kad bi bilo 2, Proizvod bi bio 2mn, a posto su m i n po definiciji razliciti od dva, i to je kontradikcija).
Kako je Suma neparna, Proizvod MORA biti oblika 2ªA, gde je A proizvod konacno mnogo prostih clanova razlicitih od 2. Prisustvo clana 2ª je neophodno jer bi u protivnom svaka kombinacija clanova dala parnu Sumu. Proizvod, buduci da je savrsen logicar, SAMO iz Sumine izjave zakljucuje koji ga brojevi sacinjavaju. Drugim recima, zakljucuje SAMO iz saznanja da je ona oblika mn+2. Ili trecim recima, zakljucuje samo iz saznanja da se on sam moze zapisati kao x(mn+2-x).
Ali kako je mogao da bude siguran u to? Imamo dve moguce formule za Proizvod izmedju kojih mora stajati jednakost:
2ªA=x(mn+2-x).
Bitno je primetiti da clan 2ª mora da je stalno na okupu, jer kad bi se te dvojke razdvojile na oba trazena broja Suma bi bila parna. Sa obe strane jednakosti imamo isti broj cinilaca, pa da bi se jednakost odrzala, postoje dva moguca slucaja:
2ª=x i A=mn+2-x, ili
2ª=mn+2-x i A=x.
Pokazacemo da, ukoliko bi druga varijanta bila istinita, Proizvod ne bi mogao da zakljuci koji su trazeni brojevi. Naime, tada bi x bilo jednako A, a kako je A po definiciji sastavljeno iz konacnog broja neparnih prostih brojeva, moze se napisati kao BC, pa bi se polazna jednacina mogla napisati kao 2ªBC=BC(mn+2-x). Jasno je da bi u tom slucaju, cak i kad bi B i C bili prosti brojevi, bilo mesta za dvoumljenje, sto ne sme. Dakle, druga varijanta odpada.
Ostaje da je 2ª=x i A=mn+2-x. Jednacina se sad moze napisati ovako:
2ªA=2ª(mn+2-x). Ako se setimo da clan 2ª mora ostati netaknut, jedini nacin da ne dodje do dvoumljenja je taj da je A, odnosno mn+2-x, odnosno mn+2-2ª, PROST BROJ.
Nakon sto je Proizvod izjavio da je nasao svoje brojeve, Suma je rezonovala isto kao i mi, i shvatila da je mn+2-2ª prost broj. Buduci da je ona sama oblika mn+2, to znaci da, kad bi od sebe oduzela neki stepen dvojke, dobila bi broj koji je prost. Ali ona je potom izjavila da i ona zna brojeve! Dakle, nesto u toj cinjenici ju je ostavilo bez svake sumnje u to koji su trazeni brojevi.
To u sustini znaci da je Suma broj koji ima to svojstvo da, ukoliko krene da od sebe oduzima redom sve stepene broja 2, od svih RAZLIKA koje dobije TACNO JEDNA ce biti prost broj, razlicit od 1. U protivnom, kada bi od sebe oduzela, recimo, 4 i 8, i dobila oba broja prosta, ne bi mogla nista da zakljuci.
Treba dakle naci m i n takve da vazi mn+2-2ª=p, gde od svih vrednosti a, postoji samo jedna takva da je p prost i razlicit od 1.
Nimalo lak zadatak. Odavde izgleda da ne postoji jednacina koja se moze postaviti cijim bi se resavanjem dobilo konkretno resenje za m i n, te ostaje da se krene redom sa vrtenjem m i n. Pre ili kasnije bi se otkrilo resenje. Ali mozemo se posluziti jednim trikom koji moze ali i ne mora da urodi plodom.
Naime, postoji tacno jedna Suma sa tom osobinom da ima samo jednu razliku sa stepenima dvojke koja je prost broj razlicit od 1. Drugim recima, sve ostale imaju po dve takve Sume ili vise od dve. Sta bi se desilo ukoliko bi postavili bas onaj zabranjeni uslov, da nadjemo Sumu koja ima jednu od razlika jednaku BAS 1?
Ukoliko bi taj uslov dao Sumu kojoj je 1 i jedina prosta razlika, to znaci da bi, njenim odstranjivanjem kao opcije, ostali bez resenja, jer bi to onda bila Suma koja uopste nema dozvoljenih prostih razlika.
Ukoliko bi taj uslov dao Sumu koja ima vise od dve proste razlike, to znaci da bi, njenim odstranjivanjem kao opcije, opet ostali bez resenja, jer bi to bila Suma koja opet moze da se dvoumi.
Ali... Ukoliko bi taj uslov dao Sumu koja ima TACNO dve proste razlike, odstranjivanjem razlike 1 kao nemoguce dobili bi smo Sumu koja ima TACNO jednu mogucu prostu razliku. A to smo i trazili. Pa hajde da probamo, dakle u onu vaznu formulu umesto p stavljamo 1, i nakon sredjivanja dobijamo:
mn=2ª-1.
A koliko a uopste moze da bude? Nikako ne moze da bude proizvoljno veliko. Vec kad bi bilo 8, jedan od sabiraka bi bio veci od 200 sto znaci da, setimo li se da smo odstranili i 1 kao opciju, imamo sledece moguce vrednosti:
2, 3, 4, 5, 6, 7. Ubacujemo svih 6 vrednosti u gornju formulu:
mn=4-1=3
mn=8-1=7
mn=16-1=15
mn=32-1=31
mn=64-1=63
mn=128-1=127
3, 7, 31 i 127 su prosti brojevi, a oni to ne bi smeli biti jer smo predpostavili da se mogu zapisati kao mn. 63 je proizvod tri prosta broja sto ne bi smeo biti jer smo predpostavili da su m i n prosti. Dakle, jedino ostaje 15, sto znaci da je Suma koja mu odgovara 15+2=17. Ostaje samo da se vidi kojoj od tri gore navedene klase ova Suma pripada, tj da se vidi da li je trik upalio.
Moguce razlike su 17-4, 17-8, i 17-16, odnosno 13, 9 i 1. Imamo dakle jednu zabranjenu, jednu prostu i jednu slozenu razliku. Nema mesta za dvoumljenje, pa je prvi trazeni broj 13, a drugi 17-13=4!
Dakle, resenje je (4,13).
Aj sad da cujem...