Ne. Pogresio sam u proslom postu.
Ali ispravivsi gresku shvatio sam da SADA IMAM POTPUNO TACAN DOKAZ!
Bojanova zamerka nije, kako sam u pocetku mislio, srusila lep dokaz, vec je od ruznog, komplikovanog dokaza napravila lep i elegantan. Jest' da ga je potpuno izmenila, ali boze moj, sada je mnogo primamljiviji, i sto je jos bitnije, tacan je.
Idemo:
-----------------------------------------------------
Proizvod kaze da ne zna od cega je sastavljen, dakle, dva trazena broja nisu OBA prosta (jer kad bi bila, znao bi koja su). Suma kaze da takodje ne zna od cega je sastavljena, ali sto je jos bitnije, kaze da je vec unapred znala da Proizvod ne zna.
Drugim recima, bio joj je dovoljan samo jedan pogled na sebe da utvrdi da Proizvod ne zna svoje sastojke, tj da oba broja nisu prosta. A takav zakljucak je mogla da donese samo ako je neparna. To je zato sto, kad bi bila parna, uvek bi mogla da se sastoji iz zbira dva prosta broja (iako ova hipoteza nije u celosti dokazana, dokazano je da vazi za prvih nekoliko miliona brojeva, a samim tim i za prvih 200). A ako bi se sastojala iz zbira dva prosta broja, ne bi mogla da zakljuci da Proizvod ne zna od cega je sastavljen. Dakle, zakljucujemo da je Suma neparna.
Ako je Suma neparna, to znaci da je, od dva broja koja ulaze u zbir, jedan paran, a drugi neparan (kad bi oba bila parna ili oba neparna, i zbir bi bio paran).
Dakle, ona je oblika 2A+B, dakle prvi trazeni broj se moze zapisati kao 2A a drugi kao B. Ovde A moze biti i parno i neparno, B mora biti neparno. Ako je A parno, moze se podeliti sa 2, a ako je taj kolicnik paran, i on se moze podeliti sa 2. Posle konacnog broja deljenja sa 2, Suma se uopsteno moze napisati ovako:
2ªC+D. Ovde i C i D moraju biti neparni. Drugim recima, C i D se mogu rastaviti na konacan broj neparnih prostih brojeva.
Suma izjavljuje da je neparna, a iz toga Proizvod shvata svoje brojeve. To znaci da u sastav C i D, pored dvojke, ulazi manje od tri prosta broja. Jer kad bi ih uslo 3, Proizvod bi imao nedoumicu: Da li 2ªx+yz ili 2ªy+xz ili 2ªz+xy ili 2ªxy+z ili 2ªxz+y ili 2ªyz+x? Sa vise brojeva stvar se samo jos vise komplikuje. Bitno je primetiti da se ove dvojke ne mogu razdvajati na oba sabirka jer bi tada Suma bila parna. Zato clan 2ª mora biti na jednoj strani.
Ako ih je manje od 3, znaci da ih je ili 2 ili 1. Proizvod zna da je jedan od brojeva 2ªC a drugi D. Ali on opet nije imao nedoumica, iako u svaki od C i D moze ravnopravno uci svaki od dva prosta broja. Znaci nije mu smetalo sto moze biti i 2ªpqp+p i 2ªp+qp i jos beskonacno mogucih varijanti.
Jedini moguci zakljucak: jedan od p i q je 2. Jedino tako je mogao da bude siguran. Zasto? Zato sto se jedino na taj nacin iskljucuje varijanta da ovaj desni sabirak sadrzi oba prosta broja, jer bi u tom slucaju taj desni sabirak bio paran, pa bi to ucinilo Sumu parnom, sto je kontradikcija.
Ali to jos nije dovoljno. On i dalje ne moze biti siguran, jer i dalje ima mesta za sledecu nedoumicu: Koliko p-ova na koju stranu? Da li, na primer 2ªp²+p³ ili 2ªp³+p²?
Ovo se moze otkloniti jedino na sledeci nacin: Jedan od stepena dvojke ili p je 1! Na taj nacin ostaju samo ove varijante 2ªp ili pª2. Zato se i dvoumi, i izjavljuje da ne zna koji su brojevi.
Zakljucujemo da je proizvod oblika ili 2ªp ili pª2 (gde je p prost broj razlicit od 1).
Vratimo se ponovo na Suminu prognozu sa pocetka da Proizvod ne zna od cega je. Vec smo iz toga izvukli da Suma ne sme biti parna. To znaci da je neparna, ali ne moze da uzima tek bilo koje neparne brojeve, vec samo one koji se ne mogu zapisati kao zbir dva prosta broja.
Pa koje su to NEPARNE Sume koje se MOGU zapisati kao zbir dva prosta broja? Pa to su upravo one Sume koje se dobijaju kada se sabere broj 2 sa bilo kojim drugim prostim brojem! To je zato sto je 2 jedini parni prost broj. Kada bi oba prosta broja bila razlicita od 2 Suma bi bila parna, ali parne Sume smo vec odstranili iz razmatranja, pa je jedini nacin da Suma koja je neparna moze da se predstavi kao zbir dva prosta broja je taj da se ona sastoji iz 2 i jos nekog prostog broja razlicitog od 2!
Zato iz razmatranja treba izbaciti, pored parnih brojeva, i sve one neparne koji su za 2 veci od nekog prostog broja!
Sada znamo da Suma u svom opstem obliku MORA da izgleda ovako: S=mn+2 (gde su m i n bilo koja dva prosta broja razlicita od 1 i 2, dakle mogu biti i isti). Ali takodje, sa druge strane, znamo i da izgleda na jedan od sledeca dva nacina: 2ª+p ili pª+2.
Sada treba primetiti da je drugi nacin nemoguc. U tom slucaju bi bilo mn+2=pª+2, tj mn=pª sto ne moze da se desi. Evo zasto:
Ako je a=1, bice mn=p sto je u kontradikciji sa definicijom p kao prostog broja.
Ako je a=2, bice mn=p² iz cega sledi da je Proizvod jednak p²+2, a Suma jednaka mn+2=p²+2 . Drugim recima, Suma i Proizvod bi bili jednaki, sto bi moglo da bude jedino u koliko su trazeni brojevi 2 i 2, a jasno je da to nije moguce.
Ako je a>2, to bi bilo u kontradikciji sa definicijom m i n kao prostih brojeva.
Zakljucujemo da je Suma nuzno oblika 2ª+p. Trebalo bi primetiti da, kako je S=mn+2=2ª+p, a ne sme biti jednako 1 (jer kad bi bilo, mn bi bilo jednako p, pa broj p ne bi bio prost).
Dakle, jedan od brojeva je prost, p (razlicit od 1 i 2), a drugi je oblika 2ª (a razlicito od 1 i 0).
Nakon sto je Proizvod izjavio da je nasao svoje brojeve, Suma je rezonovala isto kao i mi, i shvatila da je proizvod oblika 2ªp, odnosno da je ona sama oblika 2ª+p. I odmah zatim je pogodila brojeve. Znaci, nesto u cinjenici da je tog oblika ju je ostavilo bez svake sumnje u to koji su trazeni brojevi.
To u sustini znaci da je Suma broj koji ima to svojstvo da, ukoliko krene da od sebe oduzima redom sve stepene broja 2, od svih RAZLIKA koje dobije TACNO JEDNA ce biti prost broj, razlicit od 1. U protivnom, kada bi od sebe oduzela, recimo, 4 i 8, i dobila oba broja prosta, ne bi mogla nista da zakljuci.
Treba dakle naci m i n takve da vazi mn+2-2ª=p, gde od svih vrednosti a, postoji samo jedna takva da je p prost i razlicit od 1.
Nimalo lak zadatak. Odavde izgleda da ne postoji jednacina koja se moze postaviti cijim bi se resavanjem dobilo konkretno resenje za m i n, te ostaje da se krene redom sa vrtenjem m i n. Pre ili kasnije bi se otkrilo resenje. Ali mozemo se posluziti jednim trikom koji moze ali i ne mora da urodi plodom.
Naime, postoji tacno jedna Suma sa tom osobinom da ima samo jednu razliku sa stepenima dvojke koja je prost broj razlicit od 1. Drugim recima, sve ostale imaju po dve takve Sume ili vise od dve. Sta bi se desilo ukoliko bi postavili bas onaj zabranjeni uslov, da nadjemo Sumu koja ima jednu od razlika jednaku BAS 1?
Ukoliko bi taj uslov dao Sumu kojoj je 1 i jedina prosta razlika, to znaci da bi, njenim odstranjivanjem kao opcije, ostali bez resenja, jer bi to onda bila Suma koja uopste nema dozvoljenih prostih razlika.
Ukoliko bi taj uslov dao Sumu koja ima vise od dve proste razlike, to znaci da bi, njenim odstranjivanjem kao opcije, opet ostali bez resenja, jer bi to bila Suma koja opet moze da se dvoumi.
Ali... Ukoliko bi taj uslov dao Sumu koja ima TACNO dve proste razlike, odstranjivanjem razlike 1 kao nemoguce dobili bi smo Sumu koja ima TACNO jednu mogucu prostu razliku. A to smo i trazili. Pa hajde da probamo, dakle u onu vaznu formulu umesto p stavljamo 1, i nakon sredjivanja dobijamo:
mn=2ª-1.
A koliko a uopste moze da bude? Nikako ne moze da bude proizvoljno veliko. Vec kad bi bilo 8, jedan od sabiraka bi bio veci od 200 sto znaci da, setimo li se da smo odstranili i 1 kao opciju, imamo sledece moguce vrednosti:
2, 3, 4, 5, 6, 7. Ubacujemo svih 6 vrednosti u gornju formulu:
mn=4-1=3
mn=8-1=7
mn=16-1=15
mn=32-1=31
mn=64-1=63
mn=128-1=127
Odmah zapada za oko detalj da su u pitanju sve prosti brojevi osim 15. A oni ne smeju biti prosti jer smo pretpostavili da se mogu zapisati kao mn. Dakle, jedino ostaje 15, sto znaci da je Suma koja mu odgovara 15+2=17. Ostaje samo da se vidi kojoj od tri gore navedene klase ova Suma pripada, tj da se vidi da li je trik upalio.
Moguce razlike su 17-2, 17-4, i 17-16, odnosno 15, 13 i 1. Imamo dakle jednu zabranjenu, jednu prostu i jednu slozenu razliku. Nema mesta za dvoumljenje, pa je prvi trazeni broj 13, a drugi 17-13=4!
Dakle, resenje je (4,13).
-----------------------------------------------------
Na svaku zamerku cu rado odgovoriti, mada se iskreno nadam da ih nece biti, a i ako ih bude, budite ljudi pa nemojte da mi ih saopstavate zarad mog mentalnog zdravlja (ovo se posebno odnosi na izvesnog Bojana Basica). Salim se, slobodno opletite.
Nejasnoce cu rado pojasniti.
Keep On Keepin' On