Citat:
Zašto je onda zabranjeno pisati SQR(-1)?
Nije zabranjeno. Samo treba biti pažljiv pri korišćenju. Ako je SQR(.) operacija na skupu realnih brojeva tada SQR(-1) nije definisano. Medjutim ako neko hoće da kaže i = SQR(-1) tada mora biti jako oprezan. Kako sam već naveo ispravno je i = (0, 1). Tada se ne dolazi do netačnih tvrdjenja -1=1, 2i=0 i slično. Zašto do toga dolazi. Iz prostog razloga što "račundžija" "šeta" iz jednog polja u drugo. Kad mu odgovara koristi polje realnih brojeva i onda mirne savesti "ušeta" u polje kompleksnih brojeva pa tada dolazi do "čudnih slučajeva".
Da se podsetimo, (R, +, *) je polje realnih brojeva sa operacijma sabiranja i množenja kako smo inače navikli još iz osnovne škole. Medjutim struktura (R
2, +
C, *
C) je polje kompleksnih brojeva gde su operacije sabiranja i množenja definisane na sledeći način
(a, b) +
C (c, d) = (a+c, b+d)
(a, b) *
C (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
dok je nula data sa (0, 0), jedinica je (1, 0) a imaginarna jedinica i = (0, 1). Ako se još podsetimo da je -(a, b) = (-a, -b) dobili smo suprotni a može se definisati i inverzni element. U ovako definisanom polju kompleksnih brojeva nema zabune i ništa čudno sa korenom iz minus jedan.
√(-1) = z = r*e
iΦ
-1 = r²e
2iΦ
-1 = r²( cos(2Φ) + i*sin(2Φ) )
-1 = r²( cos(2Φ) + i*sin(2Φ) )
cos(π) = r²( cos(2Φ) + i*sin(2Φ) )
z1 = z2 <=> Re(z1) = Re(z2) i Im(z1)= Im(z2)
r=1
cos(π) = cos(2Φ) => π = 2Φ => Φ = π/2
0 = sin(2Φ) => 2Φ = π ili 2Φ = 0, odnosno Φ = π/2 ili Φ = 0
Φ nemože biti jednako nula jer tada ne bi važilo cos(π) = cos(2Φ), prema tome Φ = π/2. Dakle
√(-1) = e
iπ/2 = i