Evo malo kraćeg rešenja.
Neka je
Očigledno je za svako
skup
zatvoren. Takođe,
. Iz Berove teoreme o kategorijama sledi da za svaki neprazan otvoren interval
postoje
i neprazan interval
takvi da je
. Pošto je
za sve
, funkcija
je polinom stepena ne većeg od
na skupu
.
Neka su
ma koji neprazni otvoreni intervali takvi da je
i neka su
ma koji polinomi i neka je
na skupu
i
na skupu
. U tom slučaju, polinomi
i
se poklapaju na intervalu
, odnosno na beskonačnom skupu tačaka. Polinomi koji su jednaki u beskonačno mnogo tačaka se poklapaju, pa važi
.
Neka je
ma koji interval na kome je funkcija
polinomijalna i neka je
polinom takav da je
na
. Na ma kom intervalu
na kome je funkcija
polinomijalna važi
, pa je
na uniji svih intervala koji sadrže interval
i na kojima je funkcija polinomijalna. Stoga je svaki otvoren interval na kome je funkcija
polinomijalna sadržan u nekom maksimalnom otvorenom intervalu na kome je funkcija polinomijalna.
Različiti maksimalni intervali na kojima je funkcija polinomijalna ne mogu se preklapati jer bi presek ta dva intervala bio interval na kome je funkcija
polinomijalna, pa bi bila jednaka istom polinomu na oba ta maksimalna intervala, kao i na njihovom preseku, odnosno bila bi polinomijalna na uniji ta dva maskimalna intervala suprotno njihovoj maksimalnosti.
Neka je
komplement unije svih maksimalnih otvorenih intervala na kojima je funkcija
polinomijalna. Očigledno je zatvoren.
Skup
nema izolovanih tačaka. U suprotnom, postojalo bi neko
takvo da je
polinomijalna u bar nekoj levo poluokolini od
. Postojalo bi neko
takvo da je
na nekoj okolini od
suprotno uslovu maksimalnosti intervala sa svake strane od
.
Ako je skup
neprazan, on kao neprazan zatvoren podskup kompletnog metričkog prostora čini kompletan metrički prostor. Obzirom da je
, i da su skupovi
zatvoreni u
, postoji interval
i
takvi da je
. Dakle,
na
za sve
.
Neka je
maksimalan otvoreni podinterval od
. Na njemu je funkcija
jednaka polinomu nekog stepena
. Ukoliko to nije nula polinom, važi da je
konstanta različita od nule na intervalu
. No, zbog neprekidnosti i jednakosti
za sve
u bar jednoj od krajnjih tačaka intervala
(jer barem jedna pripada skupu
), važi
. Dakle, na svakom od takvih intervala je
, pa pošto to važi i na skupu
, važi i na uniji, odnosno na celom intervalu
, odakle je funkcije
polinomijalna na
, što je u suprotnosti sa
.
Dakle,
, pa je funkcija
polinomijalna.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Re: Pokazati da je f polinom
