[es] - [Teoreme] Nejednakosti

cassey
Andreja Ilic
Nis

Član broj: 57788
Poruke: 188
212.200.12.*

+1 Profil

^{14.06.2005. u 01:27 - pre 241 meseci}

Evo sredjivao sam nesto komp, pa reko da postavi (za sad nejednskosti)... Mozda nekom koristi... (koliko sam ja dobar :-)

Za proizvoljne realne brojeve

vazi:

vazi

Za realne brojeve

vazi:

Jednakost vazi akko

Ako za pozitivne brojeve

vazi

, tada za svaki par

-torki realnih brojeva

vazi:

Jednakost vazi akko

Neka je

. Tada vazi:

Jednakost vazi akko

Ako je funkcija

konveksna i

tada vazi:

Funkcija

je konveksna na intervalu

ako za svako par brojeva

vazi

, sto je ekvivalentno sa uslovom

. Ako je funkcija

strogo konveksna, tada jednakost vazi akko su svi

medjusobno jednaki ili su svi

sem jednog jednaki

Ukoliko realni brojevi

zadovoljavaju uslov:

tada vazi:

Jednakost vazi akko

ili

Neka je za

, sredina

-tog reda:

rastuca funkcija po

, odnosno

. Specijalno

je harmonijska,

je aritmeticka,

kvadratna, a

geometrijska sredina brojeva

. Zbog toga vazi nejednakost medju sredinama

.
Jednakost vazi akko

Za pozitivne brojeve

za koje va\v zi

, nejednakost izmedju aritmeticke i geometrijske sredine glasi:

Jednakost vazi akko su svi

medjusobno jednaki ili su svi

sem jednog jednaki

Za niz realnih brojeva

Definise se funkcija

promenljivih:

gde se sumiranje vrsi po svim permutacijama

skupa

. Ukoliko za dva niza realnih brojeva

vazi:

, tada vazi za sve

-torke nenegativnih brojeva i nejednakost:

Jednakost vazi akko su

identicni ili kada je

Za nenegativne realne brojeve

vazi:

Jednakost vazi akko je

Niz

majorira niz

ako vazi

. To je neophodan i dovoljan uslov da za svaku konveksnu funkciju vazi:

Za nizove realnih brojeva

definisane sa

vazi:

Math is like love. A simple idea but it can get complicated.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
*.dial.InfoSky.Net.

+2801 Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{14.06.2005. u 10:56 - pre 241 meseci}

Jedna mala ispravka:

Citat:

cassey: [Funkcija

je konveksna na intervalu

ako za svako par brojeva

vazi

, sto je ekvivalentno sa uslovom

Ako je funkcija

na nekom intervalu

definisana onda se za nju kaže da je Jensen konveksna (ili J-konveksna) ako zadovoljava uslov

na tom intervalu. Taj uslov je slabiji od uslova konveksnosti koji glasi

za sve

i sve

Funkcije koje su J-kionveksne, ali nisu konveksne, ne mogu se konstruisati (odnosno ne može se zapisati kako izgledaju), ali se može dokazati da postoje. Drugim rečima, iz uslova J-konveksnosti se ne može izvesti uslov konveksnosti. Ukoliko pretpostaviš samo J-konveksnost funkcije

na intervalu

koji se sastoji od više od jedne tačke, za

za koje je

za sve

tačno u slučaju kada su

racionalni brojevi.

Da bi funkcija

bila konkveksna na intervalu

potrebno je i dovoljno da na njemu bude J-konveksna i da bude neprekidna u njegovoj unutrašnjosti. Takođe, sa konveksnošću funkcije

na intervalu

ekvivalentno je da je ta funkcija J-konveksna na njemu i da za svako

postoji okolina

tačke

takva da je funkcija

ograničena na skupu

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
*.dial.InfoSky.Net.

+2801 Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{14.06.2005. u 11:05 - pre 241 meseci}

Takođe, koveksna funkcija ne mora biti nijedanput (a kamoli dvaput) diferencijabilna. Međutim, ako je funkcija na nekom intervalu dva puta diferencijabilna, onda je ona na njemu konveksna ako i samo ako joj je drugi izvod nenegativan.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{16.06.2005. u 22:56 - pre 241 meseci}

Citat:

Nedeljko: Funkcije koje su J-konveksne, ali nisu konveksne, ne mogu se konstruisati (odnosno ne može se zapisati kako izgledaju), ali se može dokazati da postoje.Drugim rečima, iz uslova J-konveksnosti se ne može izvesti uslov konveksnosti.

Ovo je vrlo zanimljivo

Ako sam dobro shvatio, kad bi uslov konveksnosti bio izvodljiv iz uslova J-konveksnosti, onda bi te (postojeće a neiskazive) f-je bile zapisive?
Kada kažeš izvodljiv, da li misliš na konstrukciju formalnog dokaza?

Nedeljko, da li bi mogao, ako te ne mrzi, da elaboriraš ovo malo?

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
*.dial.InfoSky.Net.

+2801 Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{17.06.2005. u 00:09 - pre 241 meseci}

Formalno se dokazuje da postoje J-konveksne funkcije koje nisu konveksne. Međutim, tu se koristi Cornova lema i samo se dokazuje da takva funkcija postoji. Sama funkcija se ne konstruiše.

Recimo, polje R možeš posmatrati kao vektorski prostor nad poljem Q kao poljem skalara. Dimenzija vektorskog prostora R nad poljem skalara Q je beskonačna (čak kontinuum). Pomoću Cornove leme dokazuje se da svaki vektorski prostor (nad bilo kojim poljem skalara) ima bazu. Neka su A i B dve baze vekstorskog prostora R nad poljem skalara Q takve da

. Takođe pomoću Cornove leme dokazuje se da su svake dve baze istog vektorskog prostora ekvipotentne (postoji bijekcija između njih). Sve ovo je dokazano na primer u algebri od Veselina Perića. Svako preslikavanje baze vektorskog prostora u neki (moguće i drugi) vektorski prostor nad istim poljem skalara se može na tačno jedan način dopuniti do linearnog preslikavanja između tih vektorskih prostora. To preslikavanje je 1-1 ako i samo ako je slika baze (kao familije vektora) linearno nezavisna familija vektora, odnosno to preslikavanje je na ako i samo ako je slika baze generatrisa prostora kodomena.

Presliakaj bijektivno bazu A na bazu B uz jedine uslove da se jedinica slika u sebe i da se to preslikavanje ne svede na identitet (ako su baze A i B iste). To preslikavanje ćeš moći da dopuniš do linearne (u odnosu na polje skalara Q) bijekcije f vektorskog prostora R na sebe samog koje se na Q svodi na identitet. Ne samo da će f biti J-konveksno, nego će umesto nejednakosti važiti jednakost. Međutim, ako bi bilo konveksno, bilo bi i neprekidno, pa bi zbog svođenja na identitet na Q bilo identitet i na R, što je u suprotnosti sa našim izborom presliakvanja koje bar jedan bazni vektor ne slika u sebe. Ako ti se ne sviđa što funkcija nije strogo J-konveksna, možeš da je sabereš sa

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{17.06.2005. u 02:38 - pre 241 meseci}

Sjajno si to objasnio!

Mnogo ti hvala!!

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Odgovor na temu

Metalnem
Lotimer Pikls

Član broj: 6757
Poruke: 184

Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{23.06.2005. u 20:52 - pre 241 meseci}

Evo necega sto se ne moze nazvati nejednakoscu, ali je cesto veoma korisno pri dokazivanju nejednakosti:

Lagranzov metod multiplikatora

Neka su na otovorenom skupu

definisane neprekidno diferencijabilne funkcije

. Ako funkcija

pri uslovima

ima lokalni ekstremum u tacki

, tada postoje realni brojevi

, takvi da funkcija

u tacki

ima izvod 0 po svakoj od

koordinata.

Teorema opisuje neophodne uslove ekstremuma koji ne moraju biti i dovoljni, ali u zadacima nije ni potrebno vise od toga.

Primer:
Dat je trougao

sa duzinama stranica

. Odrediti tacku

unutar tog trougla tako da je vrednost izraza

minimalna, ako su

rastojanja tacke

redom pravih

.

Posto je

, ovde mozemo formirati Lagranzovu funkciju

sa jednim multiplikatorom

. Izjednacavanje njenih parcijalnih izvoda sa nulom daje uslove

, sto zajedno sa uslovom

daje sistem od cetiri jednacine iz kojih se odredjuje

. Posto je

(gde je

centar upisanog kruga), jasno nam je da je trazena tacka centar upisanog kruga u dati trougao.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
*.rcub.bg.ac.yu.

+2801 Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{24.06.2005. u 20:07 - pre 241 meseci}

Ispustio si jedan uslov iz te teoreme, a to je da matrica

ima rang jednak

u tački

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Metalnem
Lotimer Pikls

Član broj: 6757
Poruke: 184

Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{24.06.2005. u 20:11 - pre 241 meseci}

Interesantno, posebno zato sto to ne pise u knjizi iz koje sam izvukao ovu teoremu.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
*.dial.InfoSky.Net.

+2801 Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{24.06.2005. u 22:18 - pre 241 meseci}

Pogledaj neku knjigu u kojoj je teorema dokazana, pa vidi šta se koristi u dokazu.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8704
*.dial.InfoSky.Net.

+2801 Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{27.12.2005. u 09:39 - pre 235 meseci}

Pošto ne mogu da menjam poruke starije od 60 dana, a uočio sam grešku prilikom kucanja jedne od svojih prethodnih poruka, ispravljam je na ovaj način.

Jedna mala ispravka:

Citat:

cassey: [Funkcija

je konveksna na intervalu

ako za svako par brojeva

vazi

, sto je ekvivalentno sa uslovom

Ako je funkcija

na nekom intervalu

definisana onda se za nju kaže da je Jensen konveksna (ili J-konveksna) ako zadovoljava uslov

na tom intervalu. Taj uslov je slabiji od uslova konveksnosti koji glasi

za sve

i sve

na intervalu

koji se sastoji od više od jedne tačke, za

za koje je

moći ćeš da dokažeš relaciju

za sve

tačno u slučaju kada su

racionalni brojevi.

Da bi funkcija

bila konkveksna na intervalu

potrebno je i dovoljno da na njemu bude J-konveksna i da bude neprekidna u njegovoj unutrašnjosti. Takođe, sa konveksnošću funkcije

na intervalu

ekvivalentno je da je ta funkcija J-konveksna na njemu i da za svako

postoji okolina

tačke

takva da je funkcija

ograničena na skupu

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Sonec

Član broj: 284879
Poruke: 892

+332 Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{05.02.2012. u 00:14 - pre 160 meseci}

Mislio sam da ne bi bilo lose da se i pokazu ove nejednakosti

pa sam ja.... Elem, na osnovu konkavnosti logaritamske funkcije imamo

Kako je

za osnovu

rastuca funkcija, to onda vazi

Oznacicemo

, tj.

. Oznacimo

i tada vazi

gde su

(iz cinjenice da

)
Tada dobijamo

- Jangova nejednakost (Young). Jednakost vazi akko

Helderova nejednakost (Hölder):

(za

(tada je i

) dobija se Kosi-Svarzova nejednakost (Cauchy–Schwarz)).
Pokazacemo je za

, za negativne se primeni

.
Obelezimo

Primenimo Jangovu nejednakost na

(primenjujemo Jangovu nejednakost

puta)

Dobijamo

, odnosno

Q.E.D.

Dokazujemo nejednakost Minkovskog (Minkowsky) za

(za

se svodi na nejednakost trougla)

(kod poslednjeg znaka nejednakosti smo iskoristili Helderovu nejednakost na oba sabirka).
Kako je

, odnosno

Dobili smo

, odnosno

, al kako je

to na kraju dobijamo

sto je i trebalo pokazati Q.E.D.

_{Bila jedna sitna greskica, al niko nije primetio}

_{[Ovu poruku je menjao Sonec dana 05.02.2012. u 18:17 GMT+1]}

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Odgovor na temu

ortodox888
beograd

Član broj: 290562
Poruke: 21
*.amres.ac.rs.

+3 Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{18.09.2013. u 20:34 - pre 140 meseci}

Kad već ovako sve lepo dokazujete dokažite i ovu ekvivalenciju kad važi jednakost u Helderovoj nejednakosti.

Vera je moja jedino ozbiljno znanje moje. Sve drugo je dečje sabiranje šarenog šljunka na jezeru.
Sveti vladika Nikolaj

Odgovor na temu

Sonec

Član broj: 284879
Poruke: 892

+332 Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{18.09.2013. u 21:39 - pre 140 meseci}

Pozdrav za mog kolegu i drugara :-)

Pa sad, ne znam koja ti je to OVA ekvivalencija kad vazi jednakost kod Holdera (i to kod kog Holdera, da li mislis na onog u L^p prostorima ili se zadoljavas sa ovim iznad).

Ali, s obzirom da u dokazu Holdera koristis Jangovu nejednakost, a da tamo jednakost vazi ako i samo ako je

, to onda ne bi trebalo da ti bude problem da pokazes kad vazi jednakost kod Holdera.

Uostalom, sutra pravac biblioteka, uzmi Jocicevu knjigu i naci ces sve.

A postoji naravno i google.

Uostalom, ja sam mislio da ti napisem dokaz, al trenutno forum ima problem sa LaTeX-om, pa nisam u mogucnosti.

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Odgovor na temu