Da, ovde se govori o uniformno ograničenom nizu funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ac69afc7a46d24c6832a8f32fbca4669.png)
. To znači da postoji konstanta
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ebd4f81234108301f68770450e1ff12e.png)
takva da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/205c33b0d4184655a5ef9d771d9f8180.png)
za sve prirodne brojeve
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bd2b320696c94ea17dd122cd137b965c.png)
i sve
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b032c66aa68d26c45d50420464a1285d.png)
iz domena funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ac69afc7a46d24c6832a8f32fbca4669.png)
. Ako se ne kaže na kom je skupu taj niz funkcija uniformno ogranichen (kada moraju sve funkcije iz niza definisane na tom skupu), onda se podrazumeva da su domeni svih funkcija iz tog niza funkcija biti jednaki.
Drugo, niz funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ac69afc7a46d24c6832a8f32fbca4669.png)
ti za ovu namenu i nije baš nabolje definisan.Trebalo bi da bude
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f06a57df1b307cf9a7bd5ce8ec10e287.png)
i da funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ac69afc7a46d24c6832a8f32fbca4669.png)
bude neprekidna i linearna na svakom od degmanata
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bfcb41265e0c7a0ca87b62ebd8a21388.png)
za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/91b79a662158770337b27d8fffbe50ad.png)
i tako da koeficijent pravca na odsečku
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bfcb41265e0c7a0ca87b62ebd8a21388.png)
bude jednak
![](https://static.elitesecurity.org/tex/98fb1b5d189c04a2ee291185f1d8f312.png)
Nije teško pokazati da za svaki prirodan broj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bd2b320696c94ea17dd122cd137b965c.png)
postoji jedinstvena funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ac69afc7a46d24c6832a8f32fbca4669.png)
definisana na intervalu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/cc95b82ee97760bbd3561df8c8e0b599.png)
koja ispunjava tražene uslove.
No, pošto koeficijent pravca na bilo kom od segmenata ne može preći
![](https://static.elitesecurity.org/tex/22e5679bebd3930d0217cfba50fe1acc.png)
po apsolutnoj vrednosti, pa stoga važi tražena nejednakost (7). Iz istog razloga su funkcije iz tog niza funkcija ravnomerno neprekidne. Lipšicove su sa istom konstantom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/beb0fade94ecf9b048c1a154f630c045.png)
Sada možeš da primeniš Arcela-Askolijevu teoremu o relativnoj kompaktnosti Banahovog prostora
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0598c8ce8b8e6028e31d570dc3163de5.png)
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.