Radi jednostavnosti, koristiću ipak sledeće oznake:
, gde je
broj pojavljivanja cifre
u dekadnom zapisu traženog broja.
Jasno je da mora biti
.
Primetimo zatim da ako je
imamo da postoje barem dve
različite cifre koje se pojavljuju po
puta, ali cifara u zapisu ima samo
, pa mora biti
tj.
.
Drugim rečima, za
je
.
Ako bi bilo
, onda bi postojalo
takvo da je
. Međutim, ovo poslednje bi značilo da imamo,
cifara
, pa lako sledi da mora biti
(za preostalih
ne možemo staviti cifru van skupa
, jer nam treba
istih cifara, pa zbog
sledi da je
). Sada, je lako videti da smo dobili broj koji ne zadovoljava uslove zadatka (npr. dobijamo da je
a u zapisu nema ni jedna
) pa je to kontradikcija.
Dakle, mora biti
Ako bi bilo
, onda bi postojalo
takvo da je
. Ovo poslednje implicira postojanje tačno
pojavljivanja neke od cifara
. Budući da je
i po pretpostavci
imamo da je
i
, sledi da moramo staviti da je nekih
od cifara
međusobno jednako, pa mora biti
, a otuda sledi (zbog
i
) da u zapisu ipak ne učestvuju samo cifre
, što je kontradikcija.
Dakle, mora biti
Ako bi bilo
, onda bi postojalo
takvo da je
. Na osnovu prethodnih zaključaka i na osnovu pretpostavke, važi
i
, slično kao i ranije zaključujemo da moramo uzeti da je
. Međutim, šta god uzeli za
, dobićemo da su cifre
pozitivne, što znači da cifre
nisu jedine u zapisu, a to je kontradikcija.
Dakle, mora biti
Neka je
, onda postoji
takvo da je
. Iz prethodnih razmatranja sledi da je
i
. Kao i ranije, sledi da je
. Ali, ne može biti
tj.
, jer bi zbog
i
morali da za preostale
cifre
stavimo
jedinica, što je nemoguće. Dakle, mora biti
tj.
.
Ostaje nam da otkrijemo cifre
. Iz
i
sledi da su među ciframa
tačno tri jednake
, tj. tačno dve cifre nisu nula. Kako je
iz prethodnog sledi, da je
za neke
. Sada imamo da je
za
. Odatle, vidimo da mora biti
, jer bi u protivnom dobili da se neka od cifara
javlja
ili
puta (što je kontradikcija).
Sada, je lako proveriti da je
i
.
Dakle, dobili smo broj
.
Dokažimo da je nađeni broj jedinstven.
Za sada znamo da je
. Pretpostavimo zato da je
.
Očigledno je da je
. Međutim, videćemo ubrzo da
, što će biti dovoljno za dokaz jedinstvenosti trženog broja.
Ako bi bilo
, sledilo bi da postoje dva pojavljivanja cifre
u zapisu, što znači da se neke dve različite cifre pojavljuju po
puta u zapisu, što je kontradikcija, jer smo dobili da u zapisu učestvuju cifre
i
.
Ako bi bilo
, sledilo bi da postoji
takvo da je
, kao i ranije, (zbog
i
) mora biti
. Sada, sledi da je
, a pošto je
, među sabircima je tačno jedna
, onda za neke
važi
, pa je
za
. Znači, mora biti
(u protivnom bi se neka od cifara
javljala
puta, što je kontradikcija). E sad, jedina particija broja
, koja zadovoljava tražene uslove je
, međutim, kako god dodelili te brojeve ciframa
i
, dobijamo da u zapisu učestvuju ukupno
jedinice, a
, što je kontradikcija.
Ako bi bilo
, sledilo bi
, što je u kontradikciji sa
.
Bez obzira što je rešenje ovako ružno, mislim da je zadatak fantastičan, jer pokazuje kakvi se perverzni skupovi kriju u
.
Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.